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3.6 利用递推法求和 ················································································· 29 3.7 部分和子列 ························································································· 29 3.8 列项相消法 ························································································· 30 <二> 利用幂级数的知识求和 ·········································································· 32 3.9 逐项微分求和 ····················································································· 32 3.10 逐项积分求和 ··················································································· 33 3.11 转化为已知的特殊的幂级数求和 ···················································· 34 四、致谢 ···················································································································· 36 参考文献 ···················································································································· 37
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一 综述
1.1级数的背景知识
[1]早在大约公元前450年，古希腊有一位名叫Zero的学者，曾提出若干个在数学发展史上产生过重大影响的悖论，“Achilles（希腊神话中的英雄）追赶乌龟”即是其中较为著名的一个。
设乌龟在Achilles前面s1米处向前爬行，Achilles在后面追赶，当Achilles用了t1秒时间，跑完了s1米时，乌龟早已向前爬了s2米；当Achilles再用t2秒时间，跑完了s2时，乌龟又向前爬了s3米...这样的过程一直继续下去，因此Achilles永远也追不上乌龟。
虽然，这一结论完全有悖于常识，是绝对荒谬的。没有人会怀疑，Achilles必将在T秒的时间内，跑了S米后追上乌龟（T和S是常数）。Zero的诡辩之处就在于把有限的时间T无限分割（或距离S）分割成无穷段t1，t2，...(或s1,s2,..)，然后一段一段的加以叙述，从而造成一种假象：这样“追-爬-追-爬”的过程将随时间的流逝而永无止境。事实上，如果将用掉的时间t1,t2,...(或跑过的距离s1,s2,...)加起来，即： t1?t2?????tn????(或s1?s2?????sn????)。
尽管相加的项有无限个，但他们的和却是有限数T（或S）。换言之，经过时间T秒Achilles跑完S米后，他已经追上乌龟了。
这里，我们遇到了无限个数相加的问题。很自然地，我们要问，这种“无限个数相加”是否一定有意义？ 若不一定的话，那怎么来判断？ 有限个数相加时的一些运算法则，如加法交换律，加法结合律对于无限个数相加是否继续有效？ 如此等等。这正是本文要讨论的级数问题
其实，级数对于我们来说一点也不陌生，在我们学习数列时就已经接触到了她，当一个数列元素个数无限的时候就是最简单的的一种级数。级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具。我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念。
近代级数的发展,主要是在17世纪上半叶.这个时期标志着文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段,这种综合与突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点.在这个时期,几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是描述运动与变化的无限小算法,并在相当短时期内,取得了迅速的发展.开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积分的互逆关系,在微积分的真正创立上作出了伟大贡献.在18世纪,微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起.其中它的发展与无穷级数的研究密不可分.牛顿在他的流数理论中自由运用无穷级数,他凭借二项式定理得到了许多函数的级数.泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法.在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中初等函数成为微积分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰写了一系列无穷级数的论文,使他们成为当时这一领域的权威.这一时期,借助于级数这个工具微积分不断取得各种显著的成就,得到各种更强有力的应用。18世纪先后出现
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了一些级数收敛判别法则.莱布尼兹判定法;达朗贝尔级数绝对收敛判别法等等.这些说明18世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题,尽管对这一问题真正严格的处理要等到19世纪.柯西对无穷级数进行了严格化的处理,明确定义了级数的收敛性,并研究了级数收敛的判别条件.
1.2研究现状
作为最古老的学科之一，数学其研究者历来众多，关于级数的求和,更是有许多
专家和学者对此产生了浓厚的兴趣,他们对某些具体的题目做出了具体的解法,像定义法,解微分方程法,特殊函数的展开式,逐项微分积分法等等.级数求和有着比较繁多的方法和很强的技巧性，而目前国内大多数数学教材及其他相关书籍中没有专门针对级数求和的常用方法设立板块，都是对一些特殊的数项级数求和,而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少有学者提及,因此在这方面我们有研究的必要,并且有很大的研究空间.对此内容进行总结和提炼。
1.3研究意义
级数在数学方面的计算中有着广泛的应用，无论是对数学这一学科本身还是在其他 学科及技术的研究与发展方面，级数的理论及其应用更是发挥着特别重要的作用和影响， 且其与我们的日常生活息息相关。不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题,同时 也是研究分析数学的重要工具.
1其原因是很多函数能用数项级数表示，同时又能借助于数项级数来研究函数逼近 的问题.利用多项式来逼近一般的函数。借助级数表示很多有用的非初等函数。 2解微分方程。
3实数的近似计算，因此数项级数理论在分析数学或者实际应用中是研究函数的一种 必要的数学工具,因而数项级数的求和问题非常重要，需要我们去掌握并利用，我们也应 该去发掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究与学习奠定基础，因此数项级数的求和 问题就成为实际应用中亟待解决的课题了.
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二 基础知识
2.1 引言
级数是数学分析的基本内容之一，它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具。它包含常数项级数与函数项级数。[2]常数项级数与数列之间有着一一对应的关系。而在函数项级数中，幂级数是最常见，也是最有用的级数。谈到级数便不能不谈级数求和的问题，首先就要判断级数的收敛问题，这里我们将系统的介绍很多判断级数收敛的定理和方法，以及他们所要求的条件。凡是收敛的级数都是可求和的，问题就在于我们应该采取什么样的方法来简化级数的求和问题，我们将在本文里系统的介绍求和方法和技巧。
2.2 级数的分类及定义 2.2.1数项级数
定义01：设X1,X2,???Xn???是无穷可列个实数，我们称它们的和 X1?X2?Xn????
为无穷数项级数（简称级数），记为?Xn，其中Xn称为级数的通项或一般项。当然
n?1?我们无法直接对无穷个实数逐一进行加法运算，所以必须对上述的级数求和给出合理的定义。为此作级数?Xn的“部分和数列”{Sn}；
n?1? S1?X1,
S2?X1?X2,
S3?X1?X2?X3, ... ...
Sn?X1?X2?X3?????Xn??Xk，
k?1n定义02：如果级数?Xn的各项都是非负实数，即Xn?0,n?1,2,?则称此级
n?1?数为正项级数。
定义03：如果级数?Xn既有无限个正项，又有无限个负项，那么此类级数就是
n?1?任意项级数
2.2.2函数项级数
现在我们将级数的概念从数推广到函数上去，对于前面讨论的数项级数?Xn，
n?1?如果它的每一项Xn都换成函数那又会变成什么呢？我们且看下面的定义
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定义：设un(x)(n?1,2,3,???)是具有公共定义域E的一列函数，我们将这无穷个函数的“和”
u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)???? 称为函数项级数，记为?Un。
n?1?2.2.3 三个重要级数
[2]
级数01：几何级数
?n?1 几何级数又称为等比级数，定义格式：?arn?1?a?ar?ar2???arn?1?? 其中a?0，r是公比。
1111?1??????? ?23nn?1n?1111[2] 级数03：p-级数 ?p?1?p?p???p??
23nn?1n[2] 级数02：调和级数
?2.3 级数收敛的定义
定义01：如果无穷级数的部分和数列{Sn}收敛于有限数S则称无穷级数?Xn收
n?1?敛，且称它的和为S记为 S??Xn，如果部分和数列{Sn}发散，则称无穷级数?Xnn?1??n?1发散。由上定义可知，只有当无穷级数收敛时，无穷多个实数的加法才是有意义
的，并且他们的和就是级数的部分和的极限。当级数收敛时Rn?S?Sn?un?1?un?2??称为级数的余项
定义02：设设un(x)(n?1,2,3,???)在E上有定义。对于任意固定的x0?E，若数项级数?un(x0)收敛，则称函数项级数?un(x)在点x0收敛，或称x0是?un(x)的收敛
n?1n?1n?1???点。
函数项级数?un(x)的收敛点全体所构成的集合称为?un(x)的收敛域。
n?1n?1?? 设?un(x)的收敛域为D?E，则?un(x)）就定义了集合D上的一个函数
S(x)??un(x),x?D.
n?1n?1?n?1?? S(x)称为?un(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的，因此称
n?1?
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