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安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
推论08：
记f为幂级数（2）在点x=0某邻域上的和函数，则幂级数（2）的系数与f在x=0处的各阶导数有如下关系：
f(n)(0) a0?f(0),an?,(n?1,2,???).
n!这个推论表明。若级数（2）在（-R，R）上有和函数f，则幂级数（2）由f在点x=0处的各阶导数所唯一确定。可往证定理09
定理09：
若幂级数（2）与?an(x)?a0?a1(x)?a2(x)2?????an(x)n????（5）在点x=0
n?0?n的某邻域内相等，则他们的同次幂项的系数相等，即 an?bn,(n?1,2,???).
定理10：
若幂级数（2）与（5）的收敛半径分别为Ra和Rb，则有 ??anx???anxn,|x|?Ra,
n??n?0?n?0
?ax??bx??(annnnn?0?n?0?n?0?n?0n?0n?0n??n?bn)xn,|x|?R,
(?anxn)(?bnxn)??cnxn,|x|?R, 式中?为常数，R?min{Ra,Rb},cn??akbn?k
k?0定理11：Abel第二定理
设幂级数?anxn的收敛半径为R，则
n?0?①
?axnn?0?n?0?n在(?R,R)上内闭一致收敛，即在任意闭区间[a,b]?(?R,R)上一致收敛；
n② 若
?axn在x?R收敛，则在任意闭区间[a,R]?(?R,R)上一致收敛。
|anxn|?|an?n|证： ①
记
???max{|a|,|b|},对一切x?[a,b],nn?0?成立
?n?0由于
|?|?R,所以?|an?|收敛，由Weierstrass判别法，可知?anxn在[a,b]上一致收敛。
② 先证明
?axnn?0n在[0,R]上一致收敛。
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xx当?anRn收敛时，由于()n在[0,R]一致有界(0?()n?1)，且关于n单调，根据Abel
RRn?0???nnxn判别法?anx??anR()在[0,R]上一致收敛。于是当a?0时，?anxn在
Rn?0n?0n?0，?anx[a,R]?(?R,R)上一致收敛；当?R?a?0时，由①
n?0?n??n??axnn?0?n在[a,0]上一致收
敛，结合?anx在[0,R]上的一致收敛性即得到?anxn在[a,R]?(?R,R)上一致收敛。
n?0n?02.4.4.2函数的幂级数的展开
学过泰勒定理我们晓得，若函数f在x0的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则
f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)?????(x?x0)n?Rn(x), (1)
2!n!这里Rn(x)为拉格朗日型余项
f(n?1)(?) Rn(x)?(x?x0)n?1, (2)
(n?1)!其中?在x和x0之间，称（1）为f在x0处的泰勒公式。
如果在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在点x0附近f可用（1）右边的多项式来近似代替，如果函数f在x0处存在任意阶的导数，这时称级数
f''(x0)f(n)(x0)2(x?x0)?????(x?x0)n????, (3) f(x0)?f'(x0)(x?x0)?2!n!为函数f在x0处的泰勒级数。我们探讨一下下面的定理
定理01：
设f在点x0具有任意阶导数，那么f在区间(x0?r,x0?r)等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式|x?x0|?r的x，有 limRn(x)?0,
n??这里Rn(x)是f在x0处的泰勒公式余项。
如果f能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在点x0的这一领域上可以展开成泰勒级数，并称等式
f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)?????(x?x0)n????, (4)
2!n!的右边为f在x0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。
由上一节中的推论8可知：若f为幂级数?anxn在收敛区间（-R，R）上的和函数，
n?0?
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则?anxn就是f在（-R，R）上的泰勒展开式，即幂级数展开式是唯一的。
n?0?在实际应用上，主要讨论函数在x0?0处的展开式，这时(3)式可以写作
f''(0)2f(n)(0)n f(0)?f'(0)x?x?????x????,
2!n!称为f的迈克劳林级数。
下面我们就一些常用的展开式进行探讨
02：直接法
要把函数f(x)展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行；
第一步： 求出f(x)的各阶导数f'(x)，f''(x)，...，f(n)(x)，...，如果在x?0处的某阶导数不存在，就停止进行。
第二步： 求出函数及其各阶导数在x?0的值：
f(0)，f'(0)，f''(0)，...，f(n)(0)，...。 第三步： 写出幂级数：
(n) f(0)?f'(0)x?f''(0)x2?????f(0)xn????,，
2!n!并求出收敛半径R。
f(n?1)(?x)n?1第五步： 利用余项Rn(x)的表达式Rn(x)?(x),(0???1)，考察当x在区
(n?1)!间(?R,R)内时逇余项Rn(x)的极限是否为零。如果为零，则函数f(x)在区间(?R,R)内的幂级数展开式为
f''(0)2f(n)(0)n f(x)?f(0)?f'(0)x?x?????x????(?R?x?R),
2!n!例1：将函数f(x)?ex展开成x的幂级数
解 所给函数的各阶导数为f(n)(x)?ex(n?1,2,3,???),因此f(n)(0)?1(n?1,2,3,???),这12xn里f(0)?f(0).于是得级数1?x?x?????????,它的收敛半径R???。对于任何
2！n!有限的数x,?(?在0与?之间)，余项的绝对值为
(0)n?1e?n?1|x||x| |Rn(x)|?|。 x|?e(n?1)!(n?1)!n?1n?1n?1?|x||x||x||x|因e有限，而是收敛级数?的一般项，所以当n??时，e??0，
(n?1)!(n?1)!n?0(n?1)!即当n??时，有|Rn(x)|?0，于是得展开式 |x|12xn e?1?x?x?????????(???x??) (5)
2！n!例2：将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数
x
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解：所给函数的各阶导数为f(n)(x)?sin(x?n),(n?1,2,3,???),f(n)(0)顺序循环地
2取0，1，0，-1???(n?1,2,3,???),于是得级数
x3x5x2k?1k x???????(?1)????，
3!5!(2k?1)!他的收敛半径R???对于任何有限的数x,?(?在0与?之间)，余项的绝对值当n??时的极限为零：
(n?1)?sin[??]|x|n?1n?12 |Rn(x)|?|x|??0,(n??).
(n?1)!(n?1)!因此得展开式
x3x5x2k?1k sinx????????(?1)????,(???x??) (6)
3!5!(2k?1)!?f(n)(0) 以上将函数展开成幂级数的例子，是直接按公式an?计算幂级数的系数，
n!最后考察余项Rn(x)是否收敛于0，这种直接展开的计算量比较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事情，下面介绍间接展开的方法，这就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算（如四则运算，逐项求导，逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，这样不但计算简单而且可以避免研究余项
03：间接法
例3： 将函数f(x)?ln(1?x)展开成x的幂级数
解：函数f(x)?ln(1?x)的各阶导数是
(n?1)! f(n)(x)?(?1)n?1.
n(1?x)从而
f(n)(0)?(?1)n?1(n?1)!,
nx2x3x4n?1x????, 所以f的迈克劳林级数是x????????(?1)234n用比值判别法容易求得该级数的收敛半径R?1，且当x?1时收敛，当x?-1时发散，故该级数的收敛域是(?1,1]，现在讨论在这收敛区间上他的余项的极限情形。 ① 当0?x?1时用拉格朗日型余项，有
n?11n!nn?1|x||x| |Rn(x)|?| (-1)x|?en?1(n?1)!(1??)(n?1)!(?1)nxn?1 ?|()|
(n?1)1??1?0,(n??). ?n?1② 对于-1?x?0的情形，拉格朗日余项不易估计，改用柯西型余项，有
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1n!|x|n?11nnn?1|x|n?1?n|Rn(x)|?|(-1)(1-?)x|?e*?(11?-?)|x|,0???1. n?1xn!(1??x)(n?1)!1??x1??|x|n?1因为-1?x?0，故有1-??1??x.即0??1,所以 |Rn(x)|??0,(n??).
1??x1?|x|这就证得在(?1,1]上ln(1?x)等于其迈克劳林级数。
nx2x3x4n?1x ln(1?x)?x????????(?1)????,(?1?x?1) (7) 234n将（7）中的x换成x-1后得到函数f(x)?lnx在x=1处的泰勒展开式：
n(x?1)2(x?1)3(x?1)4n?1(x?1)lnx?(x?1)????????(?1)????,(0?x?2) (8) 234n对(6)式两边求导，可得
2nx2x4nx cosx?1???????(?1)????,(???x??) (9) 2!4!(2n)!对(7)式两边求导，可得
1 ?1?x?x2?????(?1)nxn????,(?1?x?1) (10)
1?x把(7)式中的x换成xlna，可得
?(lna)nnxxlna a?e??x,(???x??) (11)
n!n?0把(10)式中的x换成x2，可得
?1 ??(?1)nx2n,(?1?x?1) (12) 21?xn?0对上式从0到x积分，可得
)2n?1 arctanx??(2?n1?x,(?1?x?1) (13) 1n?0?n04：下面我们总结概括一下幂级数和函数的有关性质
设幂级数?anxn的和函数为s(x)，收敛半径为R，则有下列命题成立
n?0?① 幂级数的和函数s(x)在收敛区间(?R,R)是连续的； ② 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(?R,R)有连续的导数，并且可以逐项求导，即对于任意的x?(?R,R)，有 s'(x)?(?anx)'??(anx)'??nanxn?1，
nnn?0n?0n?0???逐项求导后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径； ③ 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(?R,R)可积，并且可以逐项积分，即对于任意
??xx?xann的x?(?R,R)，有 ?s(x)dx??(?anx)dx???anxdx??nxn?1，
000n?0n?0n?0n?1逐项求导后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径；
求幂级数的和函数s(x)主要是利用已知函数的幂级数展开式比如上的那些间接
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