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② limun?0
n???则级数?(?1)nun 收敛
n?1证： 证明部分和序列 { Sn }的两个子列{ S2n }和{ S2n?1 }收敛于同一极限 . 为此先证明{ S2n }递增有界.
S2(n?1)?(u1?u2)?(u3?u4)???(u2n?1?u2n)?(u2n?1?u2n?2) ? (u1?u2)?(u3?u4)???(u2n?1?u2n)?S2n,
所以，序列S2n 又
S2n?u1?(u2?u3)???(u2n?2?u2n?1)?u2n?u1, 即数列{ S2n }有界.
由单调有界原理, 数列{ S2n }收敛 . 设
S2n?s , (n??).
S2n?1?S2n?u2n?1?s , (n??) ? limSn?s.
n??为了讨论比Leibniz级数更广泛的任意项级数，我们先来讨论下述引理
03 Abel变换：
设{an}，记Bk??bi(k?1,2,???),则?akbk?apBp??(ak?1?ak)Bk。 {bn}是两数列，
i?1kpp?1k?1k?1
利用Abel变换即得到如下的Abel引理
04 Abel引理：
① {ak}为单调数列
② {Bk}(Bk??bi,k?1,2?)为有界数列，即存在M>0，对一切k，成立|Bk|?M则
i?1k |?akbk|?M(|a1|?2|ap|).
k?1p05 级数的A-D判别法：
若下列两个条件之一满足，则级数?anbn收敛
n?1?① （Abel判别法）{an}单调有界，?bn收敛；
n?1?
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② （Dirichlet判别法）{an}单调趋于0，{?bi}有界
i?1n06 条件收敛与绝对收敛：
如果级数?|xn|收敛，则称?xn为绝对收敛级数，如果级数?xn收敛而?|xn|
n?1n?1n?1n?1????发散，则称?xn为条件收敛级数。
n?1?07 绝对收敛与更序级数:
若级数?xn绝对收敛，则它的更序级数?x`n也绝对收敛，且和不变，即
??n?1?n?1?x`n?1n =
?xn?1?n。
08 Riemann定理:
设级数?xn条件收敛，则对任意给定的α，???a???，必定存在?xn的更序
n?1n?1??数列?x`n满足?x`n = a。
n?1n?1??2.4.3函数项级数收敛的判断 定义01：一致收敛
设函数列{fn}与函数f定义在同一数集数集D上，若对任给的正数?，总存在某一正数N，使得当n?N时对一切x?D，都有 |fn(x)?f(x)|??，则称函数列{fn}在D上一致收敛于f，记作
fn(x)??f(x)(n??),x?D
定理02：一致收敛的柯西准则
函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数?，总存在某一正数N，使得当n?N时对一切x?D，和一切正数p，都有 |Sn?p(x)?Sn(x)|?? 或|un?1(x)?un?2(x)?????un?p(x)|??
定理03：一致收敛的充要条件
函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件是
limsup|R(x)|?limsup|S(x)?S(x)|?0
nnn??x?Dn??x?D
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定理04：魏尔斯特拉斯判别法
设函数项级数?un(x)定义在数集D上，?Mn为收敛的正项级数，若对一切
x?D有 |un(x)|?Mn,n?1,2,???,则函数项级数?un(x)在D上一致收敛。
定理05：阿贝尔判别法 设
①
?u(x)在区间I上一致收敛；
n② 对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的； ③ {vn(x)}在I上一致有界，即对一切x?I和正整数n，存在正数M，使得 |vn(x)|?M，
则级数?un(x)vn(x)?u1(x)v1(x)?u2(x)v2(x)?????un(x)vn(x)????在I上一致收敛
定理06：狄利克雷判别法 设
①
?u(x)的部分和数列
nnk?1 Un(x)??uk(x),(n?1,2,???) 在I上一致有界； ② 对于每一个x?I,{vn(x)}是单调的； ③ 在i上vn(x)0(n??)，
??则级数
?u(x)v(x)?u(x)v(x)?u(x)v(x)?????u(x)v(x)????
nn1122nn在I上一致收敛。
定理07：连续性
若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在
[a,b]上也连续
注：这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即
?(limun(x))?lim(?un(x)).
x?x0x?x0定理08：逐项求积
若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则
?(?u(x))??(?u(x)).
ananbb
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定理09：逐项求导
若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上每一项都有连续的导数，x0?[a,b]为
?u(x)的收敛点，且?u’(x)在[a,b]上一致收敛，则
dd ?(u(x))?(?u(x)).
dxdxnnnn2.4.4幂级数
2.4.4.1幂级数的基本概念和定理
本篇将讨论有幂级数序列{an(x?x0)}产生的函数项级数
n?a(x?x0)nn?0?n?n （1） ?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n????，
它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，他也可以看作是多项
式函数的延伸，下面将着重讨论x0?0，即
?an(x)?a0?a1(x)?a2(x)2?????an(x)n????， (2)
n?0的情形，因为只要把(2)中的x换成x?x0，即得到（1）。
定理01：阿贝尔定理
若幂级数（2）在x?x?0处收敛，则对满足不等式|x|?|x|的任何x，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在x?x处发散，则对满足不等式|x|?x的任何x，幂级数（2）发散
注：由此定理知道幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R表示区间的长度，则R为幂级数的收敛半径，实际上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界，我们称（-R，R）为幂级数（2）的收敛区间。
定理02：有关收敛半径
对于幂级数（2）若】 limn|an|??
n??则当
① 0?????时，幂级数（2）的收敛半径R?② ??0时，幂级数（2）的收敛半径R??? ③ ????时，幂级数（2）的收敛半径R?0
1?；
定理03：有关收敛半径和一致收敛
若幂级数（2）的收敛半径为R(?0)，则幂级数（2）在他的收敛区间(?R,R)内
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任意闭区间[a,b]上都一致收敛。
定理04：有关收敛半径和一致收敛
若幂级数（2）的收敛半径为R(?0)，且在x?R（或x?-R）时收敛，则级数（2）在[0,R](或[?R,0])上一致收敛。
定理05：幂级数的性质
① 幂级数（2）的和函数是(?R,R)上的连续函数； ② 若幂级数（2）在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上左（右）连续
在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，先要确定幂级数（2）在收敛区间(?R,R)上逐项求导与逐项积分后所得到的函数
a1?2a2x?3ax2????nanxn?1???? (3) 与
aaa a0x?1x2?2x3?????nxn?1???? (4)
23n?1的收敛区间
定理05：幂级数的性质
幂级数（2）与幂级数（3），（4）具有相同的收敛区间。
定理06：幂级数逐项积分，求导
设幂级数（2）在收敛区间（-R，R）上的和函数为f，若x为（-R，R）上任意一点，则 ① f在点x可导，且
； n?1② f在0与x之间的这个区间上可积，且
x?a ?f(t)dt??nxn?1。
n?0n?10f'(x)??nanxn?1?推论07：
记f为幂级数（2）在收敛区间（-R,R）上的和函数，则在（-R,R）上f具有任何
阶导数，且可逐项求导任何次，即
f'(x)?a1?2a2x?3ax2????nanxn?1???? f''(x)?2a2?3?2ax?????n(n?1)anxn?2???? f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)???2an?1x????, ??????????
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