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安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
例3.7.1
求级数?(?1)n?1n?1?1的和 nnn??n??k?1 解：由Lcibniz判别法知此级数是收敛的，即limsn?lim?(?1)k?1现在取部分和数列{sn}中足标为偶数的子列{s2n} 因此
s2n??(?1)k?12nk?1n12n11???2? kk?1kk?12k1存在 k熟知公式：
111??...??C?lnn??n,其中??0,(n??)，为著名的Eurler23n常数，利用这个公式得
sn?C?ln(2n)??2n?(C?lnn??n)
?ln2?(?2n??n)?ln2(n??) 1?1?lims2n?ln2，故limsn?ln2
n??n??nn?1值得指出的是部分和子列对非正项级数常常是行之有效的。
所以，?(?1)n?1?3.8 裂项相消法
要点：设?un, un?vn?1?vn, 则?un的部分和为
n?1n?1?? sn?vn?1?v1. 若 limvn?1?A, 则
n?? lim. sn?A?1vn??也就是说
?un的和为 A?v1.
n?1我们称上述求级数和的方法为裂项相消法.
利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明.
例3.8.1
? 求无穷级数? 解：因为
1的和.
n?1n(n?2)?
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所以
1111?(?),
n(n?2)2nn?21111111111(?)]?(1??? Sn?[(1?)?(?)?????, )2324nn?222n?1n?2于是
S?limSn?n??1111(1???)?3. 22n?1n?24所以
?13?.
n?1n(n?2)4? 如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.
例3.8.2
? 求级数 ?arctann?01 的和. 21?n?n 解：先考虑变换问题的数学形式, 由
1? arctan21?k?k(k?1?)karctan, 1?k(?1k)联想到正切的差角公式
tan??ta?n?(???) tan,
1?ta?nt?an再设 tan??k?1,??k, 则原级数的部分和为
111Sn?arctan1?arctan?arctan???arctan 2371?n?n?arctan1?(arctan2?arctan1)?(arctan3?arctan2)?? ?[arctann?arctan(n?1)]?[arctan(n?1)?arctann]?arctan(n?1)
所以
?1??lSim?limna?rct?an. ( ?arctann2n??n??n?01?n?n21)如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子
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有理化以便运用裂项相消法.
<二> 利用幂级数的知识求和
anx，将?an转化成?ax，对求 若?a收敛，则有?an=lim??x?1????n?nnn?0n?0n?0n?0nn?0nax?n有如下两种常用方法：逐项微分求和，逐项积分求和。 n?0?3.9逐项微分求和
S(x)?a0??x0?(atnn?1?n)dt，若
'?axnn?1?n?1容易求和，则此方法好用，若
1，p(n)为n的多项式并且含有因子n更好求出. p(n) 由前面定理06可知：和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要an?注意的是, 仅仅在条件“?un(x)一致收敛”之下, 即使un'(x)存在且连续, 也不能保证
n?1?和号同求导数号可以交换.
例 3.9.1
1 求数项级数?n的和.
n2n?1?1nx，求得收敛半径r?2.收敛区间是??2,2?. 解：构造幂级数?nn?1n2设它的和函数是s?x?，即s?x???由幂级数可逐项可导，有
2?1xn?11?x?x?21s?x???n??1??????????,x???2,2??x???2,2?，
2?n?12??2?2??22?x2?x'??1nx,x???2,2?. nn?1n2?有
dt2????,或sx?s0?ln ?.
002?t2?x2因为s?0??0，所以s?x??ln.即
2?xxs'?t?dt??x
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?21??nxn,x???2,2?. ln2?xn?1n2令x?1，有
例 3.9.2
ln2??1111????? n2322?23?2n?1n2?111????的和. 求级数1???????(?1)n?1352n?1 解：令
111n?x2?1???, S(x)?x?x3?x5?????(?1n)?1352n?1逐项求导得
11n???1x2?x4??????(n?1x)2?3???? S'(x),
1?x2所以
xx1dx?arctanx. S(x)??S'(x)dx??001?x2n?1?1因为级数?(?1)x2n?1在x?1处收敛, 所以
n?12n?1 S(1), ?arct?an14即
111n?1)? 1??????(?1352n?1????. ??4?3.10 逐项积分求和
S(x)??n(at?n)dt，当a为多项式时，应分解p(n)为n?n?1?等式子的组合. 0n?1nx?由Abel第二定理：若幂级数
?an?0?nxn的收敛半径r?0，则幂级数在任意闭区间
???a,a????r,r?上都一致收敛.计算收敛的数项级数?an的和，只需求?anxn?0?n在
n?0s?x?. ??1,1?内的和函数s?x?，令x?1?0，取极限，则?an?xlim?1?0n?0?例 3.10.1 计算1?111n1???????1??? 234n第 33 页 共 39 页
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n?1??1?xn??1?x?1? 解：由于ln?1?x????n?1n而
?n?1???1?n?1xnn的收敛半径为1，且在x?1收敛，令x?1?0，在等式两端取极限，
有
x?1?0limln?1?x??lim????1?n?1?n?1x?1?0?n?1???1?n?1xnn??n?1???1?n?1nx?1?0limxn
?1 n即
?n?1???1?n?1n?limln?1?x??ln2.
x?1?0 1?111n1???????1????ln2. 234n
例 3.10.2
求级数x?2x2?3x3?4x4????(x?1)的和.
解：令F(x)?x?2x2?3x3?4x4????, 其收敛域为(?1,1), 在收敛域内逐项积分得
?x0F(t)dt?122334111x?x?x???(1?)x2?(1?)x3?(1?)x4?? 234234121314xx?x?x??)??ln(1?x) 2341?x(x?x2?x3?x4??)?(x?其中x?1, 于是
xx?ln?(x1'?)] F(x)??nxn?[n?11?x(1?x2)?x?,. 13.11 转化为已知的特殊的幂级数求和
要点：这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法.
例 3.11.1
3n 求级数?的和.
n?1n!?
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