┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
?u(x)在D上点态收敛于S(x)。
nn?1?2.4 级数收敛的判断 2.4.1正项级数收敛的判断
[1]2.4.1.0定理01：（级数收敛的必要条件)设级数?Xn收敛，其通项所构成
n?1?的数列{Xn}是无穷小量，即limXn?0
n?? 证明：由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数
?un?1?n收敛
????0,?N?N?,?n?N,?p?N,有un?1?un?2???un?p??.取特殊的p?1,可得出
该定理:若级数?Xn收敛,则limXn?0.
n?1?n??2.4.1.1定理02：若limXn?0则级数?Xn发散.
n??n?1? 其实,本定理是2.4.1.0定理01的逆否命题 作用或者意义
2.4.1.0定理01只是级数收敛的必要条件，而非充分条件，换言之，数列{Xn}为无穷小量并不能保证级数?Xn收敛，本定理可以用来判断某些级数发散。例如当
n?1?|q|?1时{q}不是无穷小量，因此级数?qn发散。
n?n?1[1]2.4.1.2定理03：（正项级数的收敛原理)
内容：正项级数?Xn收敛的充分必要条件是他的部分和数列{Sn}有上界。
n?1?证明： 由于Xn?0(n?1,2,?)所以{Sn}是单调递增数列.而单调数列收敛的充分必要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.
收敛原理的作用：他解决了一个级数的收敛问题,不必研究limSn?s。,而只需粗略地
n??估计Sn的值当N->∞时是否保持有界就可以了.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出。
第 5 页 共 11 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
2.4.1.3 常用级数
在介绍比较判别法，柯西判别，达朗贝尔判别法，积分判别法等方法之前，我们先讨论一下针对前面的那三种重要级数的收敛性。他们是正项级数敛散性的判别方法中经常要用到的三个比较因子,下面简单介绍它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.
级数01：几何级数
如前所述它的形式为：?arn?1?a?ar?ar2???arn?1??的敛散性,其中a不等
n?1?于0 ，q是公比。下面讨论它的敛散性。 (Ⅰ) |r|?1时,已知几何级数的n项部分和sn?a?ar?ar2???arn?1??
a?arna ? 当|r|?1时,存在极限,且limsn?lim?.
n??n??1?r1?r?aa因此,当|r|?1时,几何级数收敛,其和是,即?arn?1?.
1?r1?rn?1a?arn? 当|r|?1时,不存在极限,limsn?lim??.
n??n??1?r因此,当|r|?1时,几何级数发散.
(Ⅱ) 当|r|?1时,有两种情况:
?当r?1时,几何级数是 a?a?a???a??,(a ≠ 0),
???a???a?na.lims?limna??.即部分和数列sn发散. sn?a???????nn个n??n???当r?-1时,几何级数是 a?a?a?a???(?1)部分和数列{ Sn }发散.
于是,当|r| = 1时,几何级数发散.
综上所述,几何级数?arn?1,当|r|?1时收敛,其和是
n?1?n?1a??.
sn??0,n是偶数,a,n是奇数,
a,当|r|?1时发散. 1?r1n级数02：调和级数
如前所述它的形式为：??1???????下面我们证明调和级数
1111?1???????是发散的. ?23nn?1n?1111 [3] 证明 设调和级数?的n项部分和是sn,即sn?1?????.由于
23nn?1n11ln1(?)?(n?1,2,3,???) nn于是调和级数的前n项部分和满足
?1n?1n?1213
第 6 页 共 12 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
111111?????ln(1?1)?ln(1?)?ln(1?)????ln(1?) 23n23n34n?134n?1 ?ln2?ln()?ln()???ln()?ln(2???)?ln(n?1)
23n23n111由于limSn?limln(n?1)???，即当n??时,调和级数的部分和sn?1?????n??n??23n?1与lnn是等价无穷大,即调和级数?发散.所以sn的极限不存在，调和级数发散。
n?1n sn?1?级数03：P-级数
1111p是任意实数）（其中， ?1???????pppp23nn?1n?1111下面讨论p-级数?p?1?p?p???p??的敛散性.
23nn?1n?1(Ⅰ) 当p?1时,就是调和级数?,发散.
n?1n?111(Ⅱ) 当p?1时,?n?N?,有p?.已知调和级数?发散,根据比较判别法可知,当p
nnn?1n= 1时,p-级数发散.
1111(Ⅲ) 当p?1时,?n?2,有p?[?].于是,?n?N,有
np?1(n?1)p?1np?1111111 sn?1?p?p???p?1?(p?1?p?1)
23np?112111111 ?(p?1?p?1)???(?) p?1p?1p?123p?1(n?1)n1111111 ?1?(p?1?p?1?p?1?p?1????)
p?11223(n?1)p?11np?1111P ?1? (1?p?1)?1??p?1np?1p?1
1即p-级数的部分和数列{ Sn }有上界,而且p?0，依据2.4.1.1定理03：（正项级数
n的收敛原理)可知p-级数收敛.
综上所述,? 当p?1时,p-级数发散; ? 当p?1时,p-收敛.
这三个重要技术的作用： 在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性.也就是经常性的被拿来当做工具使用。 下面借助于以上三个重要工具我们来探讨一下正项级数的各种判别法。
如前所述它的形式为：??2.4.1.4 正项级数的各种判别法
第 7 页 共 13 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
判别法01：比较判别法
设?xn与?yn是两个正项级数，若存在常数A?0使得xn?Ayn，n = 1,2,...,则
n?1n?1??（Ⅰ）若级数?yn收敛,则级数?xn也收敛; （Ⅱ）若级数?xn发散,则级数?yn也发散.
n?1n?1n?1?n?1??? 证明： 设级数?xn的部分和数列为{Sn},级数?yn的部分和数列为{Tn},则显然
n?1n?1??有 Sn?Tn,n?1,2,???,于是当{Tn}有上界时{Sn}也有上界，而当{Sn}无上界时{Tn}必定无上界，因此我们有：
Sn?x1?x2???xn?Ay1?Ay2???Ayn?A(y1?y2???yn)?ATn. （Ⅰ）若级数?yn收敛,依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),数列{Tn}有
n?1?上界,从而数列{Sn}也有上界,再依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),级数?xnn?1?收敛.
（Ⅱ）若级数?xn发散,依据2.4.1.1定理02：（正项级数的收敛原理),数列{Sn}无
n?1?上界,从而数列{Tn}也无上界,再根据定理1,级数?yn发散.
n?1?注：由于改变级数有限个项的数值，并不会改变他的收敛性或发散性（虽然在收敛的情况下可能改变他的“和”），所以本定理的条件可以放宽为：“存在正整数N与常数A > 0.使得xn?Ayn对一切n?N成立”
判别法01+ ：比较判别法的极限形式
设有两个正项级数?xn与
n?1???yn(yn?0),且 limn?1?n?1??xn?L (0?L???).
n??yn（Ⅰ）若级数?yn收敛,且0?L???，则级数?xn也收敛; （Ⅱ）若级数?yn发散,且0?l???，则级数?xn也发散;
n?1n?1n?1? 证明：? 若级数?yn收敛,且0?L???，由已知条件,??0?0,?N?N?,?n?N，
n?1?有|xnx?L|??0，对他变形我们可以得到n?L??0，即?n?N，有xn?(L??0)yn，ynyn?n?1依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数?xn也收敛;
第 8 页 共 14 页
┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊
安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
? 若级数?yn发散,且0?L???，由已知条件,??0?0,?N?N?,?n?N，
n?1?xnx?L|??0，对他变形我们可以得到n?L??0而且(L??0?0)，即?n?N，有ynyn?1yn?xn，依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数?xn也发散;
L??0n?1x? 由已知条件，?M?0,?N?N?,?n?N,有n?M，即?N?N?,?n?N，有
yn?1yn?xn依据判别法01：比较判别法，我们可以得到级数?xn也发散。
Mn?1注：比较法的使用条件以及与其他方法的联系 ① 比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断; ② 比较判别法的比较对象常常就是几何级数,调和级数,P-级数三种级数 ③ 在比较的过程中通常使用放缩方法 ④ 当用等比级数作为比较对象时,就得到了下面的达朗贝尔判别法及柯西判别法.
用比较判别法判断正项级数的敛散性,先要根据问题的条件作一个大概的估计,猜想原级数可能是收敛的,还是发散的呢?如果猜想原级数收敛,就找一个适当的收敛级数来比较,使得原级数的各项小于或等于比较级数的对应项;如果猜想原级数发散,就找一个适当的发散级数来比较,使得原级数的各项大于或等于比较级数的对应项. 但要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数,在实际生活中往往不是一件轻而易举的事情.于是我们便设想在比较判别法的基础上寻找到直接用待判级数的通项构造判别式,不必另找比较级数,只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性.研究的结果获得了由比较判别法派生出来的种种正项级数敛散性的判别法——柯西判别法与达朗贝尔判别法.下面我们就来探讨一下达朗贝尔判别法及柯西判别法. 有|判别法02：柯西判别法
[4] 设有正项级数?un(un?0),存在常数q.
n?1?① 若?N?N,?n?N,不等式
?nun?q?1成立,则级数?un收敛;
n?1?② 若对一切n?N,不等式
nun?1成立,则级数?un发散.
n?1n? 证明 ①已知?N?N?,?n?N,有
un?q 或 un?qn.又已知几何级数
?qn?0?n(0?q?1)收敛,于是级数?un收敛.
n?1? ② 已知存在无限个n,有nun?1 或 un?1,即un不趋近于0(n??),于是级数
?un?1?n发散.
第 9 页 共 15 页