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安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文
判别法02+：柯西判别法的极限形式
[4] 正项级数?un,若 limnu?l,则
n① 当l?1时,级数?un收敛; ② 当l?1时,级数?un发散.
n?1n?1??n?1?n?? 证明： ① ?q:l?q?1，由数列极限定义,??0?q?l?0,?N?N?,?n?N,有
|nun?l|?q?l 或
nun?q?1,根据判别法02：柯西判别法可以得到级数?un收敛.
n?1?? ② 已知l?1,根据数列极限的保号性,?N?N?,?n?N,有nun?1,根据判别法02：柯西判别法可以得到级数?un发散.
n?1注：多数情况下正项级数的通项开n次方根不会直接得出一个常数,或者计算复杂，所以通常情况下使用柯西判别法的极限形式判别级数的敛散性.
判别法03：达朗贝尔判别法
[4] 设正项级数?un(un?0),存在常数?.
n?1??un?1① 若?N?N,?n?N,有 ???1,则级数?un收敛;
unn?1??un?1② 若?N?N,?n?N,有 ?1,则级数?un发散.
unn?1u 证明: ① 不妨设?n?N,有n?1?? 或 un?1?un?.
unn?1,u2?u1?,?n?2,u3?u2l?u1?2,3n?3,u?ul?u?,431
??
n?k,uk?1?ukq?u1?k,???kk?1已知几何级数?u1q(0???1)收敛,根据判别法01：比较判别法,则级数?un收敛.
n?1? ② 已知?N?N?,?n?N,有
un?1?1 或 un?1?un，即正项数列?un?从N项以后单un?n?1调增加,un不趋近于0(n??),则级数?un发散.
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判别法03+：达朗贝尔判别法 [4] 设有正项级数?un(un?0),且limn??n?1?un?1?l. un① 当l?1时,级数② 当l?1时,级数
?u?n收敛; 发散.
?un?1n?1?n 证明： ① ?q:l?q?1,由数列极限定义,??0?q?l?0,?N?N?,?n?N,有
?un?1un?1?q?1,根据判别法03：达朗贝尔判别法,级数?un收敛. |?l|?q?l 或 uunn?1n② 已知l?1,根据数列极限的保号性,?N?N?,?n?N,有贝尔判别法,级数?un发散.
n?1?un?1?1.根据判别法03：达朗un注：在柯西判别法和达朗贝尔判别法中只讨论了l?1或l?1的情况,并没有考虑l?1的情况,也没有考虑l不存在又是怎样的情况,这说明这两种判别法存在着一定的不足.下面看一个引理
2.4.1.5引理
[1]设正项级数?un(un?0)，那么有：
n?1?
limn??un?1u?limnun?limnun?limn?1 unn??n??n??un证明： 设
u r?limn?1 ，
n??un由上下极限的知识我们可知，对任意给定的?，存在正整数N，使得对一切 n?N，
n?N?1un?1u??uN?1,(n?N?1)，从而 ?r??于是n(r??)成立
un
limn??nun?limn??n(r??)n?N?1?uN?1?r??，
由?的任意性，即得到
limn??nxun??r?limn?1
n??xn类似的可以证明： limun?1 ≦ limnun。
n??n??un
该引理告诉我们：若一个正级数的敛散情况可以由达朗贝尔判别法判定，那么他也一
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定能用柯西判别法判定。但是，能用柯西判别法判定的级数，却未必能用达朗贝尔判别法判定。这就是说柯西判别法的适用范围比达朗贝尔判别法判别范围广。但是对某些具体例子而言，两种判别法都适用，而达朗贝尔判别法比柯西判别法更方便一些，读者应根据级数的具体情况来选择合适的判别法。
注：达朗贝尔判别法判与柯西判别法的本质都是比较判别法，与之相比较的是几何级数?arn?1(a?0)：把所有要判断的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的,也就
n?1?是说,只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数,这两种方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢,它们就无能为力了.在判
n?1定级数收敛时，要求级数的通项受到r（0 < r < 1）的控制；而在判定级数发散时，则是根据其一般项不趋于零，由于两者相去甚远，因此判别法在许多情况下会失效，
?1即便对?p这样简单的级数，他们都无能为力。因此为了获得判别范围更大的一类
n?1n级数,就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准.数学家拉贝用 p-级数代替几何级数,仿照比值判别法建立了一个拉贝判别法,它比比值判别法要精确,有些比值判别法不能判别的用拉贝判别法可以判别.
下面我们将一起探讨的判别法：拉贝判别法将在一定程度上弥补上述的局限性
判别法04：拉贝判别法
[4] 设有正项级数?un(un?0),存在常数q.
n?1?un?1)?q?1,则级数?un收敛； ① 若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1???un?1)?1,则级数?un发散. ② 若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1uuq 证明：①由n(1?n?1)?q可得n?1?1?.选p使1?p?q.由于
ununn?1?(1?1n)p1?(1?x)pp(1?x)p?1p lim?lim?lim??1,
n??x?0x?0qnqxqqq1因此,存在正数N,使对任意n?N,?1?(1?)p.这样 .
nn于是,当n?N时就有
uuun?1pn?2pN?1pun?1?n?1?n???N?1?uN?()()?()?uNunun?1uNnn?1N
(N?1)?uN.np??1当p?1时,级数?p收敛,故级数?un收敛.
n?1n?1n?p
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un?1u1n?1)?1可得n?1?1??,于是 ununnnuuun?1n?211?????u2??u2. un?1?n?1?n???3?u2?unun?1u2nn?12n ② 由n(1??1因为?发散,故级数?un发散.
n?1n?1n? 注：虽然拉贝判别法有时可以处理达朗贝尔判别法失效（即出现lim情况）的级数，但当limn(n??xn?1?1.的
n??xnxn?1)?1的情况出现时拉贝判别法依然失效，即级数可xn?1能收敛，也可能发散。事实上，还可以建立比拉贝判别法更有效的判别法，比如
?xnBertrand 判别法：设lim（ln n）[n(?1)?1]?r，则当r?1时级数?xn收敛；当r?1n??xn?1n?1时级数?xn发散，但是当r?1时魔鬼再一次出现：判别法又失效了因为杜·布洼·雷知
n?1?恩曾证明:任何收敛的正项级数,都有比它收敛得更“快”的级数存在.还有人证明:任何
发散的正项级数也有比它发散得更“慢”的级数存在.这说明没有收敛的最快的级数,也没用发散的最慢的级数,所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的.这个过程（即逐次建立更有效的判别法的过程）是无限的，虽然每次都能得到新的，适用范围更广的判别法，但是这些判别法的证明也变得更加复杂。至此我觉得再继续研究下去没有意义,这里就不再进一步介绍了。下面我们来探讨一下积分判别法。
判别法05：积分判别法
设f为[1,??]上非负减函数,那么正项级数?f(n)与反常积分?1f(x)dx同时收
敛或同时发散.
证明： 由假设f为[1,??]上非负减函数,对任何正数A,f在[1,A]上可积,从而有 依次相加可得
??f(n)??mnn?1f(x)dx?f(n?1),n?2,3,?mmm?1n?1.
?f(n)??n?2m1f(x)dx??f(n?1)??f(n) (1)
n?2m??若反常积分收敛,则由（1）式左边，对任何正整数m，有
sm??f(n)?f(1)??n?11f(x)dx?f(1)??1f(x)dx.
根据2.4.1.1定理03：（正项级数的收敛原理) ,级数?f(n)收敛.
反之,若?f(n)为收敛级数,则由（1）式右边，对任一正整数m(?1)有
?m1f(x)dx?sm?1??f(n)?s. (2)
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因为f(x)为非负减函数,故对任何正数A,都有 0??f(x)dx?sn?s,n?A?n?1.
1A根据(2)式得反常积分???1f(x)dx收敛.
??1用同样的方法,可以证明?f(n)与?f(x)dx是同时发散的.
注：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.
综上所述,判别正项级数的敛散性有多种方法,比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、积分判别法,以及上面讨论的两种新方法.但是它们各自适用于不同的形式的正项级数,根据判别法的特性和级数通项的特点来选择判别方法更有利于级数敛散性问题的解决.如果原级数容易找到一个常用的比较因子,判断出它们之间的大小关系,则用比较判别法;如果原级数含有n次幂的形式,则可考虑用柯西判别法;如果原级数含有n!等形式,则可试用达朗贝尔判别法;如果用上面三种方法都不容易判断敛散性,可试用拉贝判别法;
2.4.2任意项级数收敛的判断
一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以使用正项级数的各种判别法来判断他的收敛性。如果一个级数既有无限个正项，又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。
为此，我们从正项级数转向讨论任意项级数，也就是通项任意的可正可负的级数。 由于Cauchy收敛原理是对敛散性最本质的刻画，为了判断任意项级数的敛散性，我们将关于数列的Cauchy收敛原理应用于级数的情况，即可得到
01定理：级数的Cauchy收敛原理
级数?xn收敛的充分必要条件是：对任意给定的??0，存在正整数N,使得
n?1? |xn?1?xn?2?????xm|?|对一切m?n?N成立。
k?n?1?xmk|??
01定义：交错级数
若级数的各项un符号正负相间,且满足{un}单调减少且收敛于0，则称这样的交错
级数为Leibniz级数
02 定理：Leibniz判别法
有交错级数
?(?1)n?1?n?1un,u?0 ，若
① ?n,un?un?1
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