第十五章分式
初二数学备课组 2015．10
【全章目标】
1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的代数式；
2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念；
3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加减乘除运算； 4.结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体实数，了解整数指数幂的运算性质，能用科学记数法表示小于1的正数；
5.掌握可化为一元一次方程的解法，体会解分式方程中的化归思想；
6.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型。
【中考说明】 2015年中考说明 考试内容 考试要求 A 了解分式和最简分式分式的概念；会确定使分式有意义或者分式值为零的条件。 B 能利用分式基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加减乘除运算；能选用适当的方法解决与分式有关的问题。 C 分式 分式方程
【课时建议】 内容 15.1分式 了解分式方程的概念。 能解可化为一元一次方程的分式方程，并对分式方程的解进行检验。 运用方程的有关内容解决有关问题。 14+1课时 3课时 6+1课时 3课时 2课时 15.2分式的运算 15.3分式方程 小结 【教学重难点及关键点】
1. 重点：分式的四则运算是本章的重点。分式的运算与整式的运算相比，运算的步骤增多（如需 要通分、约分等），符号的变化更为复杂，方法也较灵活 ；
2．难点：分式的四则混合运算(分式的四则混合运算，是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用 )、解分式方程以及列分式方程解应用题是本章教材的难点；
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3．关键点：正确理解分式的概念，并能灵活运用分式的基本性质，是学好本章的关键。因为分式与分数的概念有许多相似之处，所以有关分式的基本性质以及四则运算法则等，都是通过与分数的有关内容类比得到的。另外，在解分式方程以及解含有字母系数方程时，要考虑字母的条件等，都与分式的概念及其基本性质有关，因此正确理解分式概念，灵活应用其基本性质是学好本章的关键。
【全章知识结构】
【全章知识梳理】 一、本章的主要内容：
1.分式概念；2.最简分式概念；3.分式基本性质；4.分式的约分；5.分式的通分；6.分式的加减乘除运算；7.整数指数幂的概念及运算性质；8.分式方程概念；9.可化为一元一次方程的分式方程的解法；10. 可化为一元一次方程的分式方程的应用;；(11.增根的概念)。
二、本章的主要数学思想：
1.解方程中的化归思想；
2.类比的思想：（始终通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式）； 3.整体的思想：会利用整体思想求值。
三、在教学中应该注意的问题：
1.重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式； 2.重视分式与实际的联系，体现数学建模思想； 3.重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤。
【具体问题分析】
一、分式的概念和基本性质是学习本章的基础 ，对于分式概念，主要是搞清楚分式与分数的区别以及分式何时有意义的问题．对于分式的基本性质，则主要是在分式变形和运算中能够正确灵活地运用。
1.分式的概念要求学生弄清三个问题：(1)识别是否为分式；(2)有意义的分式的条件或无意义分式的条件；(3)分式值为零的条件。
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2.分式的基本性质要求学生弄清两个问题:(1)知道分式基本性质的产生过程（“观察”“思考”，与分数的基本性质类比，温故而知新，来完成知识的深化过程 ）；（2）弄清分式的基本性质的作用（功能）（a）化分数系数为整系数；(b)化简繁分式；(c)化简符号；(d)约分（依据、关键、方法）；(e)通分（依据、关键、方法）。
二、分式的四则运算：是通过与分数的有关内容类比得到的 （运算法则、运算顺序 ）,分式运算往往可以归结为整式的运算，因式分解，当然还要注意分式基本性质与符号法则的运用。 1.分式的乘法：实质是约分（注意符号）；
2.分式的除法：先转化为乘法（除以一个式子乘以这个式子的倒式）； 3.分式的乘方: 由乘方的意义直接推导；
4.分式的加减法:对于同分母的分式的减法,注意分子相减时,减式要加括号；
5.关于分式运算的结果的呈现形式:分子分母不需要展开(分子、分母一定无公因式)； 6.分式的混合运算,要注意运算顺序。
三、负整数指数幂的运算(注意产生过程、“底倒指反”的含义、五个幂的运算性质的整合、绝对值小于1的数的科学记数法的表示）。
五、分式的化简求值（步骤、方法、技巧等）。
六、解分式方程的基本思路（先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认）。
与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。因此它的 解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。
七、列分式方程解应用题和列整式方程解应用题相比较，虽然涉及到的基本数量关系有时是相同的，但由于含有未知数的式子不受整式的限制，所以更为多样而灵活。教学中要抓住可用分式表示未知量这一环．仔细分析数量关系，采用多种选择设未知数的方法列方程，并通过适当练习突破这一难点。
【课时具体内容建议要点】
15.1.1从分数到分式
教学目标
1．了解分式概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
典例剖析
例1 （1）长方形的面积为10cm2 ，长为7cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽
为 cm。
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2 的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为
V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为 cm。
例2下列各式中，哪些是分式哪些不是？
（1）
4x（2）
1a（3）4x?y（4）
3x1（5）
24x2（6）
1a＋4
例3 （1）当x 时，分式
2有意义 3x第3页共31页
x有意义 x?11（3）当b 时，分式有意义
5?3b（2）当x 时，分式
（4）当x，y满足关系 时，分式例4 当m为何值时，分式的值为0？
x?y有意义 x?y2mmm?2（1） （2） (3) m?1m?3?1
课堂训练
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
m?179x+4,
x ,
19?y, m?4, 8y?3，
2x?9205y2. 当x取何值时，下列分式有意义？
3 （1） （2） （3）
x?2x?53?2x2x?5x2?43．（1）当x_________时，分式
2x 有意义；（2）当x= 时，分式无意义．
x?1x?24. 当x为何值时，分式的值为0？
拓展提高:
x?77xx2?1（1） （2） (3) 5xx2?x21?3x1．如果分式
|y|?3的值为0，求y的值．
y?2y?322．当x为何值时，分式
1的值为正数？ 2x?13．当x为何整数时，分式
4．已知分式
4的值为正整数？ 2x?1y?a,当y＝－3时无意义，当y＝2时分式的值为0，求当y＝－7时分式的值． y?b
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15.1.2分式的基本性质（1） 教学目标：
1．理解分式的基本性质.
2．会用分式的基本性质将分式变形 典例剖析 例1 填空：
例2 约分 232?25abcx?9（1） （2） 2x2?6x?9 15abc例3
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
?x3y?a3?5a?(a?b)2(1) ? (2) ? （3） (4)
m?13x23ab2?17b2课堂训练
1．填空：
??2x26a3b23a3(1) 2= (2) =
x?3xx?38b3????b?1x2?y2x?y（3) = (4) = 2a?can?cn?x?y???2．约分：
2(x?y)33a2b8m2n?4x2yz3（1） （2） （3） （4） 2252mn6abcy?x16xyz3．约分
2bcx2?xyx2?y2(x?y)y（1） （2） （3） （4）
acxy2(x?y)2(x?y)29ab2?6abc9a2?6ab?b2x2?365x（5） （6） (7) (8)
3a?b2x?1225x23a2b4.如果把分式
x?2y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） x?y
B．缩小10倍 D．不变
A．扩大10倍 C．是原来的
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