建筑力学教案
检查与回顾
1. 梁的内力图规律。
2. 梁的内力值得控制截面有哪些？
新授课 第四节平面图形的几何性质
构件的横截面都是具有一定几何形状的平面图形，与平面图形的形状、尺寸有关的几何量都叫做平面图形的几何性质，例如面积A、抗扭截面系数等。由于轴向拉、压杆的正应力、纵向变形都与截面面积A有关，受扭圆轴的剪应力与抗扭截面系数肼有关，所以，平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素之一。本节将集中讨论有关的几个平面图形的几何性质。 一、形心和面积矩 (一)形心
平面图形的形心就是其几何中心。当平面图形具有对称中心时，对称中心就是形心，例如圆形、圆环、正方形，它们的对称中心就是形心；具有两个对称轴的平面图形，形心就在对称轴的交点上(图6—22)；只有一个对称轴的平面图形，其形心一定在对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需要计算才能确定。例如图6—23中的T形，其形心一定在对称轴y上，而坐标Y。值需要计算。
图6—22 图6—23 (二)面积矩
平面图形的面积A与其形心到某一坐标轴的距离Yc(至彳轴)的乘积，叫做该平面图形对该平面图形对z轴的面积矩，用Sz表示(图6—23) Sz=A?Yc
面积矩的单位是长度的三次方，常用mm3或m3，有时也用cm3。 由面积矩的定义可知：平面图形对过形心轴的面积矩一定为零。 (三)形心坐标公式
建筑工程中常用构件的截面形状，除简单的平面图形外，一般都可划分成几个简单平面图形的组合，习惯上叫做组合图形。例如图6—24中的T形截面，可视为两个矩形的组合。若两个矩形的面积是AhA2，它们到某一坐标轴z的形心坐标分别为y1、y2，根据面积矩定义，可以写出它们对石轴的面积矩是 Slz=A1·Y1 S2z=A2·Y2
若T形截面的全面积为A，整个图形对z轴的形心坐标是yc，那么，全面积对。轴的面积矩，就等于各部分面积对z轴面积矩的代数和，即 A·Yc=A1·Yl+A2·Y2 得 yc= (A1·Yl+A2·Y2)/A
利用上式就可以确定T形截面的形心位置。当组合图形划分为若干个简单平面图形时，则有A。Yc=∑Ai·Yi
式中：A——组合截面的全面积： yc——组合截面对z轴的形心坐标；
Ai——组合截面中各部分的截面面积； 图6—24 Yi——各部分面积对z轴的形心坐标； siz——各部分面积对Z-轴的面积矩。
同理可得 zc=∑Ai·zi/A
例6—12试计算图6—24所示T形截面对z轴的形心坐标yc。
解:将T形截面划分为两个矩形A。、A：，它们的面积和对：轴的形心坐标分别是 Al=20×80=160 mm2，Y1=90 mm A2=20×80=160 mm2，Y2=40 mm
T形截面对z轴的形心坐标Yc，按式(6—1)计算 Yc= yc= (A1·Yl+A2·Y2)/A =(160x90+160x40)/(160+160) =65 mm
例6—13试确定图6—25中槽形截面的形心位置(对z轴)。(图中尺寸单位为cm)。
解(1)槽形截面面积可视为矩形ABCD的面积Al与矩形abcd的面积A2之差，即 A1=8×20=160 cm2 A2=6 X 16=96 cm2 A=A1一A2=160—96=64 cm2
(2)槽形截面的形心必定在对称轴Y轴上。取z轴靠截面的下边线，计算对
z轴的形心坐标Y。由图中各部分的尺寸可1=4 cm；y2=3 cm ∑Ai·Yi= A1·Yl—A2·Y2图6—25
yc=(160×4-96×3)/64=5.5cm
总结：一、形心和面积矩、(二)面积矩、(三)形心坐标公式 作业：P162 6-9
检查与回顾 1、组合图形的形心坐标公式
2、面积矩
新授课 二、惯性矩
把平面图形分成无数多个微小面积，用每一块微小面积乘以其形心到某一坐标轴距离的平方，再把这些乘积叠加起来，这个值就叫做平面图形对该轴的惯性矩。惯性矩用符号，；表示(下脚标是指对z轴的惯性矩)，单位是长度的四次方，常用mm4或m4，也可用cm4。由于在计算惯性矩时，要把平面图形分成无数多个微小面积，通常用高等数学计算，所以这里只引用几种常用平面图形的惯性矩计算公式供使用。
正方形，边长为a，zc轴过形心且与底边平行。正方形对zc轴的惯性矩是：
Izc=a4/12
矩形，宽度为b、高度为h，zc轴过形心且与底边平行。矩形对zc轴的惯性矩是：Izc=bh3/12
圆形，直径为D，对形心轴ZC的惯性矩是 Izc=πD4/64
由惯性矩的定义可知：平面图形对任一轴的惯性矩恒为正值；同一平面图形对不同位置的坐标轴的惯性矩不同。
例6—14在图6—26a的矩形中，已知6=3 cm；h=4 cm；试计算该矩形对形心轴zc、Yc的惯性矩IzC，Iyc。
解(1)计算Izc：Izc=bh3/12=3×43/12=16cm3 (2)计算Iyc:Izc=bh3/12=4×33/12=9cm3 三、惯性矩的平行移轴公式
在今后的力学计算中，需要计算组合图形对其形心轴的惯性矩。例如图6—27中的T形，需要算出整个图形对形心轴z的惯性矩Iz。
可将T形视为矩形A1、A2的组合，分别算出A1、A2对z轴的惯性矩I1z、I2z，并把它们相加，就得到T形对形心轴z的惯性矩Iz Iz=I1z+I2z
现在先计算矩形A1对z轴的惯性矩I1z。矩形Al的形心是C1，I轴通过形心C1且与底边平行，z轴与I轴平行且间距为a。可以算出，矩形A1对z轴的惯性矩是 I1z=I1+a2·A1
上式叫做惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任一牟由的惯性矩，等于平面图形对平行于该轴的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两轴之间距离平方的乘积。由式(6—5)可以看出：平面图形对一组平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。
应用式(6—5)可写出矩形A2对z轴的惯性矩是 I2z=I11+b2·A2
所以，T形对形心轴z的惯性矩是Iz=I1z+I2z=I1+a2A1+I11+b2A2
图 6—27
应用惯性矩的平行移轴公式，可以求出组合图形对形心轴的惯性矩。 例6—15 T形各部分尺寸如图6—28所示。试计算T形对形心轴y、z轴的惯性矩。
解(1)确定形心轴位置。对称轴Y轴就是形心轴。为确定形心轴。的坐标yc，设参考轴zo如图所示。将图形分为两个矩形A1、A2，它们的面积和对轴的形心坐标分别是