通过实验得知，临界力Pcr的大小与压杆的长度、截面形状、尺寸、杆件材料以及杆件的支承情况有关。在材料服从胡克定律的条件下，可推导出细长压杆临界力的计算公式——欧拉公式 Pcr=л2EI/(μl)2 (8—1)
式中：E——材料的弹性模量； ． l一杆件的长度；
μ——长度系数，其值与压杆的支承情况有关； 、 μl ——计算长度； I——横截面的最小惯性矩。 EI——抗弯刚度 欧拉公式反映了以下的规律：
1．临界力与压杆的抗弯刚度日成正比。压杆的抗弯刚度愈大，就愈不容易产生弯曲变形而失稳，因而临界力也俞大。
压杆失稳时，杆件总是在抗弯刚度最小的方向发生弯曲。例如图8—3a中的矩形截面，h->b，截面的面积都分布在Y轴附近，所以截面对Y轴的惯性矩就是截面对形心轴的惯性矩中的最小值，即，Iy=Imin=hb3/12。实验证明，矩形截面的压杆失稳时，是以图8—3口中的y轴为中性轴发生弯曲的。同理，图8—3b中的工字形截面柱，其失稳时弯曲变形的中性轴也是，，轴。圆形截面压杆失稳时的弯曲变形则可以在任意方向发生，因为圆形截面对过形心的任意轴的惯性矩均相等。
2·临界力与压杆的计算长度平方成反比。计算长度综合反映了压杆的长度和支座的约束情况对临界力的影响。压杆的稳定性随着压杆计算长度的增加而急剧下降。不同支座的长度，在计算压杆的临界力时，应根据支座情况在表
8—1中选用公式。
例8—1一端固定、一端自由的轴心受压杆，长度l=1 m，弹性模量E=2．0×105MPa。试计算图8—4中三种截面的临界力。(图中尺寸为mm)
解 (1)计算矩形截面。杆件在最小抗弯刚度平面内失稳， Imin=Iz=bh3/12=50X103/12=4.17X103mm4
Pcr=л2EI/(μl) 2= л2X2.0X105X4.17X103/(2X1000)2=2.02kn (2)计算等肢角钢截面。由型钢表(见附录工工)查得 Imin=Iz=3.89cm4=3.89X104mm
Pcr=л2EI/(μl) 2= л2X2.0X105X3.89X103/(2X1000)2=18.73kn (3)计算圆环截面。
I=л/64（D4-d4）=л/64(384-284)=72600mm4
Pcr=л2EI/(μl) 2= л2X2.0X105X4.17X103/(2X1000)2=18.73kn
例中三种截面的面积接近相等，但临界力相差很大，这是因为各截面形式不同、最小惯性矩差别很大。
检查与回顾
新授课 二、临界应力
在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力。临界应力用d。表示，若压杆的横截面面积为A，则临界应力为 б=Pcr/A= Pcr=л2EI/(μl) 2A√
上式中最小惯性矩A和横截面面积A都是与截面形状、尺寸有关的几何量。令
I/A= i2，则有I=
上式中i叫做截面的惯性半径，其单位是mm。于是，临界应力的计算公式可写
бcr=л2Ei2/(μl)2=л2E/(μl)2/ i2
上式中μl和i都是反映压杆几何性质的量，工程上取μl与i的比值来表示压杆的细长程度，叫做压杆的柔度或长细比。柔度用λ表示，是无量纲的量。 λ=μl/ i
于是临界应力的计算公式可简化为 бcr=л2E/λ
2
压杆的柔度A综合反映了杆长、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。式(8—3)是欧拉公式的另一形式。从式中可以看出，对同一种材料的压杆而言，其临界应力与柔度的平方成反比。柔度愈大，临界应力愈小，即压杆的稳定性愈差。
三、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料服从胡克定律条件下导出的，因此，压杆的临界应力不应超过材料的比例极限бb。欧拉公式的适用条件可表达为
бcr=л2E/λ2≥бb
当бcr=бb则，有λp=
就是对一定材料的细长压杆，用欧拉公式确定临界应力时柔度的最小值，叫做极限柔度。所以欧拉公式的适用范围用柔度表达的形式是 (8-5)
不同材料的弹性模量E和比例极限бb，值不同，因此极限柔度бb也不同。对于任意已知材料，可将其E和бb代人式(8—5)，算出相应的бb，从而确定欧拉公式对该材料压杆的适用范围。
例如3号钢，取E=2．0×105 MPa，бb=196 MPa，代入式(8—5)得 λp =100
所以，用3号钢制成的压杆，只有当λ≥100时，才能用欧拉公式。
总之，欧拉公式只适用于柔度较大的细长压杆。
当压杆的柔度，超出了欧拉公式的适用范围。对于这类压杆的临界应力，可用经验公式计算。
例8—2某轴心受杆长l=300 mm，矩形截面的面积为b×h=2×10mm2，两端铰支，材料为3号钢，E=2．0×105MPa。试计算此压杆的临界应力和临界力。 解(1)计算最小惯性半径。 I=0.577mm (2)计算柔度。
λ=μl/ I=1X300/0.577=520>λp =100 (3)用欧拉公式计算临界应力。 бcr=л2E/λ2=л2X2.0X105/5202=7.3MPa (4)计算临界力
Pcr=бcr?A=7．3×2 X 10=146 N 作业:P188 8-1
检查与回顾 1、欧拉公式的表达形式
新授课 第三节压杆的稳定校核——折减系数法
一、压杆的稳定条件
当压杆的工作应力达到临界应力时，压杆就会失稳而丧失工作能力。为保证压杆稳定，就必须确定一个考虑压杆稳定的许用应力，它应当是 [бst]= бcr/nst
上式中的[бst]就是稳定许用应力；nst是稳定的安全系数，它随柔度的变化而变化。λ愈大，nst也愈大。压杆的稳定条件可写为 б=P/A≤[бst]
上式中б是压杆的工作应力。由于临界应力бst和稳定安全系数nst都随柔度而变化，所以[бst]也是随柔度而变化的变量。 二、折减系数
在压杆的稳定计算中，可将稳定许用应力[бst]改用强度许用应力[б]来表达。Φ=бcr·n/nst·бu
叫做折减系数。值小于1，是一个随λ而变化的变量。表8—2列
出了几种材料的值供查用。压杆的稳定条件用折减系数与强度许用应力表示为 б=P/A≤Φ[б] 三、稳定校核
在已知压杆的杆长、支座情况、材料、截面及荷载的情况下，可应用式(8—7)校核压杆的稳定性。
例8—3一圆形木柱高6 m，直径d=20 cm，两端铰支，承受轴向压力P=50 kN，木材的许用应力[б]=10 MPa。试校核柱的稳定性。 解(1)计算截面的惯性半径i。 I=d/4=5cm
(2)计算柔度。因两端铰支，μ=1，所以 λ=μl/ I=1X600/5=120
(3)查折减系数。从表8—2中查得p=0．209。 (4)稳定校核。
БP/A=1．59 N／mm=1．59 MPa Φ[б]=0．209×10=2．09 MPa 所以，木柱满足稳定条件。