Al=2 x 6=12击；y1=5 cm A2=2×6=12击；y2=1 cm
(2)计算惯性矩Iy。形心轴y0通过矩形A1、A2的形心，所以，整个图形对y轴的惯性矩Iy等于两个矩形对Y轴的惯性矩之和，即 Iy=I1y+I2y=6×23/12+2×63/12=40cm (3)计算惯性矩Iz。
由于z轴不通过矩形A1、A2的形心，所以，它们对z轴的惯性矩要用平行移轴公式计算
al=2 cm；a2=2 cm
I1z=I1c+a12·A1=2×63/12+22×12=84cm4 I2z=I2c+a22·A2=6×23/12+22×12=52cm4
整个图形对z轴的惯性矩为Iz= I1z +I2z=84+52=136 cm4 总结：
1、 常见截面的惯性矩计算公式 2、 惯性矩的平行移轴公式 作业：P163 6-10、6-11、6-12
检查与回顾 1、常见截面的惯性矩计算公式
2、惯性矩的平行移轴公式
新授课 第五节 梁的正应力及其强度条件
前面讨论了梁的内力计算及内力图，根据内力图可确定梁的内力最大值及其所在位置。为解决梁的强度计算问题，还需要研究横截面上的应力分布规律和计算式。
梁的横截面上有剪力V和弯矩肘两种内力。剪力V是与横截面相切的内力，由它分布在各点的应力必定也与横截面相切，那就是剪应力。弯矩M是力偶矩，它只能由横截面上的正应力仃组成，剪与应力r无关(图6—29)。这就是说：梁弯曲时横截面上有两种应力：剪应力r和正应力盯。梁的正应力是影响梁强度的主要因素，下面将着重讨论。
图6—29
一、梁的正应力分布规律
为了解正应力在横截面上的分布情况，可先观察梁的变形。取一根 弹性较好的梁(例如橡胶梁)，在梁的表面画上与梁轴平行的纵向线及垂直于梁轴的横向线(图6—30a)。于是在梁的表面形成许多小方格，然后，使梁发生弯曲变形(图6—30b)即可观察到以下现象：
1．各横向线仍为直线，只是倾斜了一个角度；
2．各纵向线弯成曲线，梁下部的纤维伸长，上部的纤维缩短。
可以认为梁内部的变形情况与梁表面一样。所以，可作出如下的分析与假设： 1．梁的各横向线所代表的横截面，在变形前是平面，变形后仍为平面(平面假设)。
2．纵向线的伸长与缩短，表明了梁内各点分别受到纵向拉伸或压缩。由梁下部的受拉而伸长逐渐过渡到梁上部受压而缩短，于是，梁内必定有一既不伸长也不缩短的层，这一不受拉、不受压、长度不变的层叫做中性层，中性层与横截面的交线叫做中性轴(图6—30c)。中性轴通过截面的形心并与竖向对称轴垂直。由此可知：梁弯曲时，各横截面绕中性轴做微小的转动，使梁发生了
纵向伸长或缩短，而中性轴上的各点变形为零，距中性轴最远的上、下边缘变形最大，其余各点的变形与该点到中性轴的距离成正比。
M
(b)
(c)
图6—30 图6—31
在材料的弹性受力范围内，正应力与纵向应变成正比。可见，横截面上正应力的分布规律与各点的变形规律一样：上、下边缘的点应力最大，中性轴上为零，其余各点的应力大小与到中性轴的距离成正比，如图6—31所示。
二、梁的正应力计算
梁横截面上各点的正应力计算式可表示为
ζ=E·ε
上式中的纵向应变值e与所计算的点至中性轴的距离Y成正比；与反映梁弯曲程度的曲率1/ρ成反比，即 ε=1/ρ·y
于是，正应力计算式可表示为 ζ=E1/ρ·y
梁的曲率与截面的弯矩成正比；与截面的抗弯刚度EIz成反比，即 1/ρ=M/EIz
得正应力计算公式为 ζ=M·y/Iz
上式中：M——截面上的弯矩； y——所计算点到中性轴的距离； Iz——截面对中性轴的惯性矩。
式(6—6)说明：梁横截面上任一点的正应力与该截面的弯矩M及该点到中性轴的距离y成正比，与该截面对中性轴的惯性矩Iz成反比；正应力沿截面高度呈线性分布规律，中性轴上各点的正应力为零。
用式(6—6)计算梁的正应力时，弯矩M与某点至中性轴的距离y均以绝对值代入，而正应力的正、负号则由梁的变形判定：以中性轴为界，梁变形后的凸出边是拉应力取正号；凹入边是压应力取负号。
例6—16简支梁受均布荷载作用，q=3．5 kNJm，梁的截面为矩形，b=120mm，h=180 mm，跨度l=3 m。试计算跨中截面上o、b、c三点的正应力(图6—32)。
解(1)画出梁的弯矩图如图6—32b所示，跨中弯矩 M=1/8ql2=1/8×Izc=bh3/12
3．5×3=3·94 kN。m
(2)计算正应力：用式(6—6)d：计算各点的正应力。 Iz=bh3/12=0.12 ×0.183/12=58.32×10-6m4 各点至中性轴的距离分别为
ya=h/2=90 mm；yb=50 mm；yc：90 mm
ζa=ζ=M·ya/Iz=(3·94×103×0.09)/ 58.32×10-6=6．08 MPa(拉应力) ζb=ζ=M·yb/Iz=(3·94×103×0.05)/ 58.32×10-6=3.38 MPa(拉应力) ζc=ζ=M·yc/Iz=(3·94×103×0.09)/ 58.32×10-6=6．08 MPa(压应力)
三、梁的正应力强度条件
弯曲变形的梁，最大弯矩M一所在的截面是危险截面，该截面上距中性轴最远边缘ymax处的正应力最大，是危险点： ζ
max
=Mmaxymax/Iz
由于Iz、Ymax都是与截面的几何尺寸有关的量，若用Wz表示，正应力最大值计算式可写 ζ
max
=Mmax/Wz
Wz叫做抗弯截面系数。图6—33中矩形截面的Wz= bh2/6，圆形截面的Wy=Wz= =πD3/32，正方形截面的Wy=Wz=a3/6抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位是m3或mm3
保证梁内最大正应力不超过材料的许用应力，就是梁的强度条件，可分两种情况表达如下：
1．材料的抗拉与抗压能力相同，正应力强度条件为 ζ
max
=Mnxa/W1≤[ζ] (6—8)
2·材料的抗拉与抗压能力不同时，常将梁的截面做成上、下与中性轴不对称的形式，例如T形。这时，梁的正应力强度条件应同时满足 ζ
max
(拉)= Mnxa/W1≤[ζ]拉 (压)：Mnxa/W2≤[ζ]
ζ
max
根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：
1．校核强度。在已知梁的截面尺寸、材料及所受荷载情况下，对梁做正应力强度校核 ζ
max
=Mnxa/W1≤[ζ]
2．选择截面。在已知梁的材料及荷载时，可根据强度条件确定抗弯截面系数Wz≥Mmax/[ζ]
再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。