概率论与数理统计及其应用习题解答
10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为
?x?x2/200?ef(x)??100?0?（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；
x?0
其他（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
1解：（1）P{X?1}????x?x2/200edx?1?e?1/200?0.00498； 1000x?x2/200（2）P{X?52}?； edx?e?2704/200?0.000001?10052??（3）P{X?26X?20}?P{X?26}?P{X?20}x?x2/200edx?10026x?x2/200edx?10020???e?276/200?0.25158。
11，设实验室的温度X（以
?
C计）为随机变量，其概率密度为
?1?(4?x2)?1?x?2f(x)??9
其他?0?（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实
验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。
（3） 求P{Y?2}，P{X?2}。
2解：（1）P{X15； ?1}??(4?x2)dx?9271~B(10,5)，所以其分布律为 27k10?k（2）根据题意Y?5??22?kP(Y?k)?C10???????27??27?28,k?0,1,2,?10
（3）
?5??22?2P(Y?2)?C10???????0.2998，
?27??27?P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。
11
概率论与数理统计及其应用习题解答
12，（1）设随机变量Y的概率密度为
?0.2?f(y)??0.2?Cy?0?试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y（2）设随机变量X的概率密度为
?1?y?00?y?1其他
?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。
?1/80?x?2?f(x)??x/82?x?4
?0其他?1?求分布函数F(x)，并求P{??x?3}，P{X?1|X?3}。
01解：（1）根据1????f(y)dy??0.2dy??(0.2?Cy)dy?0.4??10C，得到C?1.2。 20?y??1y?0.2dy???1?y?0?1?yy?0 F(y)??f(y)dy??0.2dy?(0.2?1.2y)dy?1?????0?y?10?01?0.2dy?(0.2?1.2y)dy??y?1?0??10y??1??0.2(y?1)?1?y?0? ??2?0.6y?0.2y?0.20?y?1?1y?1?P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25；
P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}1?P{Y?0.5}1?F(0.5)1?0.45????0.7106
P{Y?0.1}1?P{Y?0.1}1?F(0.1)1?0.226 12
概率论与数理统计及其应用习题解答
0?x?0x?1dxx?0?0??80?x?2?0?xx?21?x/80?x?2x（2）F(x)??f(x)dx?? ??2dx?dxx/162?x?4?????882?x?4?02?2?41x?4?1x?dx?dx??x?4?882?0P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16；
P{X?1|X?3}?
P{?1X?3}F(3)?F(1)??7/9。
P{X?3}F(3)13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
P{X?i,Y?j}?当n取3时，
1，（i?j，且1?i,j?n）
n(n?1)P{X?i,Y?j}?X 1 2 3 1,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为 61 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 Y 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
X 0 1 2 （1） 求P{XY 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 ?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}；
（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。
?1,Y?1}=0.2，
解：（1）由表直接可得P{XP{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
13
概率论与数理统计及其应用习题解答
P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9
（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6
P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0 f(x,y)??其他0，?试确定常数C，并求P{X解：根据
?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。
x?0,y?0??f(x,y)dxdy?1，可得
?????(2x?4y)?????2x1?所以Cx?0,y?0??f(x,y)dxdy??dx?Ce00dy?C?e0dx?e?4ydy?0C8，
?8。
?????(2x?4y)?????2xP{X?2}?x?2??f(x,y)dxdy??dx?8e20x??x?ydy??2e2??dx?4e?4ydy?e?4；
0x???4yP{X?Y}???f(x,y)dxdy??dx?8e001?(2x?4y)dy??2e0?2xdx?4e0dy??2x?4x2e(1?e)dx??0231?x?(2x?4y)11?xP{X?Y?1}?
x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e?2xdx?4e?4ydy?(1?e?2)2。
0016，设随机变量（X，Y）在由曲线（1） 求（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度
y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。
fX(x),fY(y)。
f(x,y)必定是一常数，故由
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度
1x21???f(x,y)dxdy??dxG0x2/22?f(x,y)dy??6,(x,y)?G1f(x,y)，得到f(x,y)??。 6?0，其他（2）
?x??6dy?3x2，0?x?1fX(x)??f(x,y)dy??2；
x/2???0,其他??? 14
概率论与数理统计及其应用习题解答
?2y??6dx，0?y?0.5?y?6(2y?y)，0?y?0.5???1??fY(y)??f(x,y)dx???6dx，0.5?y?1??6(1?y)，0.5?y?1
???y?0，其他??0，其他???
18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为
?x3?x(1?y)x?0,y?0?，f(x,y)??2e，
其他?0，?（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度（2） 求条件概率密度（3） 求条件概率P{YfX(x)；
fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度；
?1|X?0.5}。
解：（1）
???x3?x(1?y)x2?xedy?e,x?0?。 fX(x)??f(x,y)dy???220???0,其他???（2）当x?0时，
f(x,y)?xe?xy,y?0。 fY|X(y|x)???fX(x)?0,其他特别地，当x?0.5时
?0.5e?0.5y,y?0。 fY|X(y|x?0.5)??其他?0,????Y|X（3）P{Y
?1|X?0.5}??f1(y|x?0.5)dy??0.5e?0.5ydy?e?0.5。
119，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。
（2）在16题中求条件概率密度
fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。
P{Y?i,X?0}，得到在X?0的条件下YP{X?0}的条件分布律
解：（1）根据公式P{Y为
?i|X?0}? 15