概率论与数理统计及其应用习题解答
所以，
?1e?y/2?fY(y)??2?y?0?y?0。
其他
27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为
?(3x?1)/80?x?2f(x)??0其他?求圆面积A的概率密度。
2
解：圆面积A??X，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则
G(y)?P{?X2?y}?P{X?y/?}?FX(y/?)， 故
g(y)??G(y)??'12?yf(y/?)?12?y?3y??8??3y??16?y,0?y/??2
?3y???所以，g(y)??16?y?0?
0?y?4?其他。
28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N(0,?2)，验证Z?X2?Y2的概率密度为
?z?z2/(2?2)?efZ(z)???2?0?解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
z?0。
其他f(x,y)?先求分布函数，当z12??2e?x2?y22?2。
?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z2}
2?z?2x?y?z??2f(x,y)dxdy??d??21022??0e?r22?2rdr?1?e?z22?2，
故，
?z?z2/(2?2)?e'fZ(z)??FZ(z)????2?0?z?0。
其他 21
概率论与数理统计及其应用习题解答
29，设随机变量X~U(?1,1)，随机变量Y具有概率密度fY(y)??X?Y的概率密度。
，所以Z1，???y???，2?(1?y)设X,Y相互独立，求Z解：因为
?1/2?1?x?1fX(x)??其他?0??z?1?X?Y的概率密度为
fZ(z)??fY(y)fX(z?y)dy?11?arctan(z?1)?arctan(z?1)?。 dy??z?12?(1?y2??)2?
30随机变量X和Y的概率密度分别为
fx)????e??xx?0X(其他，
??2ye??yfy?0?0Y(y)???0其他
??0，X,Y相互独立。求Z?X?Y的概率密度。
解： 根据卷积公式，得
??z3f??zZ(z)?fY(y)fX(z?y)dy??????3ye??zdy??02z2e，z?0。
所以Z?X?Y的概率密度为
?f)???32e??z?2zz?0Y(y。
??0其他
31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求Z?X?Y的概率密度。
解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
fx)???10?x?1X(其他，
?0fy)???10?x?1Y(其他
?0根据卷积公式，得
?1??1dy,z?1???z?1?2?z,1?zf)??f?zdy,0?z?1???2Z(zY(y)fX(z?y)dy???1?z,0?z?1 。
???0?其他??0,其他?0,?
32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为
22
概率论与数理统计及其应用习题解答
?3?3xx?0,0?y?2?e， f(x,y)??2其他??0，（1） 求边缘概率密度（2） 求ZfX(x),fY(y)。
?max{X,Y}的分布函数。
Z?1}。
1/2?（3） 求概率P{??解：（1）
?2?3x??3e/2dy?3e?3x，x?0； fX(x)??f(x,y)dy??0???0,其他????3x，0?y?2??3e/2dx?1/2，0?y?2??0???。 fY(y)??f(x,y)dx???????0，?0，其他其他????（2）Z?max{X,Y}的分布函数为
FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)因为
x?0?0,； FX(x)???3x1?e,x?0?y?0?0?FY(y)??y/20?y?2?1y?2?，
z?0?0,?z?3zF(z)?F(z)F(z)?所以，Z?1?e,0?z?2。 XY?2?3zz?2?1?e,??（3）P{1/2
?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?11?31?3/2?e?e。 42433，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。 （2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证
Y的概率密度为
?2(l?y)/l2，0?y?l?fY(y)??。
?0，其他?解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
?1?0?x?lfX(x)??l?其他?0（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为
。
X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。
Y?min{X1,X2}，其分布函数为
F????yY(y)?1?1?FX1(y)1?FX2(y)?1?(1?l)2,0?y?l，
所以密度函数为
?2(l?y)/l2，0?y?lf)??Fy)?'??Y(yY(?。
??0，其他
34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1） 求U?max(X,Y)的分布律。 （2） 求V?min(X,Y)的分布律。 （3） 求W?X?Y的分布律。 X Y 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为
P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}
?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，
其余类似。结果写成表格形式为
U 0 1 2 3 pk 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为
P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2
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概率论与数理统计及其应用习题解答
如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0，
U其余类似。结果写成表格形式为
0 1 27/40 13/40 pk （3）W?X?Y的分布律为
kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5
i?0如，P{W?2}??P{X?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，
i?02其余类似。结果写成表格形式为
W 0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 pk
（第2章习题解答完毕）
第3章
1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所
以分布律为
随机变量的数字特征
X 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 pk E(X)?
1(4?5?6?7?7)?29/5. 52，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为
Y 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 pk E(Y)?
1(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29. 293，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
31221C10C2C10C2C10691， 。 p0?3?， p1??p??2332222C1211C12C12 25