概率论与数理统计及其应用习题解答
Y 0 1 2 P{Y|X?0} 5/12 1/3 1/4 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为 X 0 1 2 P{X|Y?1} 4/17 10/17 3/17 （2）因为
f(x,y)???6,(x,y)?G?0，其他。 ?x2f?6dy?3x2，0?x?1??6(2y?y)，0?y?0.5X(x)??2?；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。?x/2
?0,其他??0，其他所以，当0?x?1时，
f(x,y)??22,x2/2?y?x2fY|X(y|x)?f??x；
X(x)??0,其他当0?y?0.5时，
fx|y)?f(x,y)?1,y?x?2yf??X|Y(?；
?2y?yY(y)?0,其他当0.5?y?1时，
f?f(x,y)??1,y?x?1X|Y(x|y)f??1?y；
Y(y)??0,其他?1当
y?0.5时，
f?,0.5?x?1X|Y(x|y)??。
?1?0.5?0,其他
20，设随机变量（X，Y）在由曲线
y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；
（3） 求条件概率密度
fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度
f(x,y)必定是一常数，故由
1x1???f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy?1?3,G0x23f(x,y)，得到f(x,y)??(x,y)?G?0，其他。
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???x（2）
f(x)??f(x,y)dy????3dy?3(x?x2)，0?x?1X2；
???x?0,其他?y????y?3dx，0?y?12?3(y?y2)，0?y?1f?????Y(y)??f(x,y)dx。 ?????0，其他??0，其他???1（3）当0?x?1时，
ff(x,y)?2,x2?y?xY|X(y|x)?fx)??x?x。
X(??0,其他特别地，当x?0.5时的条件概率密度为
?4f.5)???22?1,1/4?y?2/2Y|X(y|0。
??0,其他
21，设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为
?f(x)??2?x?6，0?x?2X
??0,其他且当
X?x(0?x?2)时Y的条件概率密度为
?f??1?xy?,0?y?1Y|X(y|x)?1?,x/2，
?0其他（1） 求(X,Y)联合概率密度；
（2） 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度； （3） 求在Y?y的条件下X的条件概率密度
fX|Y(x|y)。
?1?解：（1）
f(x,y)?f?xy0?x?2,0?y?1X(x)fY|X(y|x)???3?0其他；
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概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）
?21?xy2dx?(1?y)0?y?1??fY(y)??f(x,y)dx??033???0其他???；
（3）当0?y?1时，
?1?xy,0?x?2f(x,y)?fX|Y(x|y)???2(1?y)。
fY(y)?其他?0,
22，（1）设一离散型随机变量的分布律为
Y -1 0 1 pk ?? 1?? 22又设Y1,Y2是两个相互独立的随机变量，且Y1,Y2都与Y有相同的分布律。求Y1,Y2的联合分布律。并求
P{Y1?Y2}。
（2）问在14题中X,Y是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得Y1,Y2的联合分布律为
P{Y1?i,Y2?j}?P{Y1?i}P{Y2?j}，i,j??1,0,1
结果写成表格为
Y1 Y2 -1 0 1 -1 0 1
?2/4 ?(1??)/2 ?(1??)/2 (1??)2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)2??2/2。
（2）14题中，求出边缘分布律为
X Y 0 1 2 0.10 0.04 0.02 0.16 0 0.08 0.20 0.06 0.34 1 0.06 0.14 0.30 0.50 2 P{X?i} 0.24 0.38 0.38 1 P{Y?j} 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。
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23，设X,Y是两个相互独立的随机变量，
X~U(0,1)，Y的概率密度为
f(y)???8y0?y?1/2Y?0其他
试写出
X,Y的联合概率密度，并求P{X?Y}。
解：根据题意，X的概率密度为
f???10?x?1X(x)其他
?0所以根据独立定，
X,Y的联合概率密度为
f(x,y)?f?8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY(y)??。 ?0其他1/21P{X?Y}?,y)dxdy?x??f(x?y?dx?8ydx?20y3
24，设随机变量X具有分布律 X -2 -1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2?1的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为
Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30
25，设随机变量X~N(0,1)，求U?X的概率密度。
解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0；
当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1，
fU(u)??F'U(u)??2fX(u)?2?u2/2?e。
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?2fu)???u2/2所以，
u?0U(???e?0u?0。
26，（1）设随机变量X的概率密度为
?e?xf(x)??x?0
?0其他求Y?X的概率密度。
（2）设随机变量
X~U(?1,1)，求Y?(X?1)/2的概率密度。 （3）设随机变量
X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。
解：设X,Y的概率密度分别为
fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则
（1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；
当
y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y2}?FX(y2)，
fY(y)??F'2Y(y)??2yfX(y)?2ye?y2。
?y2所以，
f??2yeY(y)??y?0?y?0。 ?0（2）此时
f???1/2?1?x?1X(x)。
?0其他因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故，
f'Y(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,?1?2y?1?1，
所以，
fy)???10?y?1Y(。 ?0其他（3）当
y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}
??(y)??(?y)?2?(y)?1，
故，
fY(y)??F'1?y/2Y(y)??2fX(y)2y?12?ye。
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