概率论与数理统计及其应用习题解答
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
E?
6911?0??1??2?(台)。 11222224，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为
Y 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 pk 得分的数学期望为
16 16 16 16 16 111111 363636363636E?
5，解：（1）根据X1149(1?2?3?4?5)?(7?8?9?10?11?12)?(点)。 63612~?(?)，可得P{X?5}??5e??5!??6e??6!?P{X?6}，因此计算得到??6，
即X~?(6)。所以E(X)=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1??k?166k22?2?k??(?1)k?1k?1??16ln2?2， k?xn因此期望存在。（利用了ln(（不符书上答案） 1?x)??(?1),?1?x?1）
n?1n?0?n
6，解：（1）一天的平均耗水量为
x2e?x/3x2E(X)??xf(x)dx??dx???d(e?x/3)?0?93??00??????????2xe?x/3?x/3dx??2xd(e)??300??
。 ?0??2e?x/3dx?6（百万升）
0（2）这种动物的平均寿命为
25E(X)??xdF(x)??xd(1?2)?x??5
??1251??????50。 dx?10（年）?25x7，解：E(X)???26xf(x)dx?42x(1?x)dx??7xd(1?x)???00??
7101??7x(1?x)2?61???14x?(1?x)?dx???2xd?(1?x)???2x(1?x)6700011??2(1?x)7dx0 26
概率论与数理统计及其应用习题解答
=1/4。
??28，解：E(X)
???22xf(x)dx?2x(1?1/x)dx?(x?2lnx)?3?2ln2。 ??1123x3x29，解：E(X)?xf(x)dx?(1?x)dx?(1?x)2dx ???22???10??013x3x??(1?x)2dx??(1?x)2dx?0。
2210（对第一个积分进行变量代换x
10， 解：
01??y）
E(sin?X?k??k)???sin?C4?pk?(1?p)4?k? 22?k?0?413（不符书上答案） ?C4?p1?(1?p)3?C4?p3?(1?p)1?4p(1?p)(1?2p?2p2)。
11，解：R的概率密度函数为
?1/a,0?x?af(x)??，所以
0,其他?。
aE(V)??0?r31?a3?dr?6a24??
42?0.3x??12，解：E[g(X)]????g(x)f(x)dx??x?0.3e0dx??16?0.3e?0.3xdx
41?(200?584e?1.2)（不符书上答案） 9
x?0?0,?13，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)??x,0?x?1，所以可以求出Y1,Yn的分布函
?1,x?1?数为
0,y?0y?0??0,??Fmin(y)??1?(1?y)n,0?y?1， Fmax(y)??yn,0?y?1。
??1,1,y?1y?1??Y1,Yn的密度函数为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
f)???n(1?y)n?1,0?y?1?nyn?1,0?y?1min(y0,，fmax(y)??其他??0,其他。
所以Y1,Yn的数学期望为
??111E(Y?yfn?1dy??n(1?y)n?11)?min(y)dy?dy?n(1?y)ndy?1???ny(1?y)00?0n?1， ??1E(Y?yfnn)?max(y)dy????nyndy?0n?1。
14，解：求出边缘分布律如下
X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)?0?kP{Y?k}?3/4，
k?k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14，
j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，
j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。
j?0i?0
2215，解：E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，
j?0i?022E[Y/(X?1)]???jP{X?i}P{Y?j}?18/28?9/14。
j?0i?0i?1
11?y16，解：E(X)???xf(x,y)dxdy??dy?24x2ydx?2/5，
R?R00 28
概率论与数理统计及其应用习题解答
11?yE(Y)?R?R2yf(x,y)dxdy?dy24y????xdx?2/5，
0011?yE(XY)?
R?R22xyf(x,y)dxdy?dy24x????ydx?2/15。
0017，解：根据题意，可得利润的分布律为
Y 2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 pk 因此，
E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400（元）
E(Y2)?20002?0.2?10002?0.3?(?1000)2?0.1?(?2000)2?0.1?1600000。 D(Y)?E(Y2)??E(Y)??14400002
????18解E(X)????xf(x)dx???2????0x22e?x2/(2?2)dx??xe?x2/(2?2)??0????e?x0??02/(2?2)dx???2dx，
??E(X)?2?xf(x)dx?2?x2/(2?2)0??0x32e?x2/(2?2)dx??xe2?x2/(2?2)????2xe?x02/(2?2)
??2?e???2?2，
。
D(X)?E(X2)??E(X)??(2??/2)?2，D(X)?(2??/2)?2??（本题积分利用了
19，解：E(X)?xe?02/2dx??2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
??kP{X?k}?p?k(1?p)k?1?p?k?1k?12??2k?1????11， ?p2pE(X)??kP{X?k}?p?k(1?p)2k?1k?1????????k?1?p??k(k?1)(1?p)??k(1?p)k?1?k?1?k?1?
?p(2121?)??， p3p2p2p?E(X2)??E(X)??2所以，D(X)111?p??2。 2ppp29
概率论与数理统计及其应用习题解答
本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设
s(p)??k(1?p)k?1k?1??，则
pk?s(p)dp???(1?p)?1?1k?1??1p，所以
?p?1?s(p)???s(p)dp??2?p1??'。类似的，设
S(p)??k(k?1)(1?p)??k?1，则经过两次积分以后可得到
(1?p)2，在经过两次求导得到
k?1pS(p)?2p3。
??????：（1）当k?1时，E(X)?xf(x)dx?k?k20，解dx?k?k?1k?kkdx?。 ?????x?xk?1??（2）当k?1时，E(X)???1dx???，即E(X)不存在。 ?x????（3），当k?2时，E(X2)?x2f(x)dx?k?kdx?k?2， ????k?1?xk?2所以，D(X)?E(X2)??E(X)?2?k?2??1?k?2?k?k?2(k?1)2???(k?1)2(k?2)。
????222?2（4）当k?2时，E(X)?xf(x)dx?dx???，所以D(X)不存在。???? ?x
21，解：（1）根据14题中结果，得到
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；
2因为E(X2)??k2P{X?k}?4/7， E(Y2)??2k2P{Y?k}?27/28，
k?0k?0所以D(X)?E(X2)??E(X)?2?9/28，D(Y)?E(Y2)??E(Y)?2?45/112，
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??55。 （2）根据16题结果可得：
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5?2??2/75；
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