概率论与数理统计及其应用习题解答
25)，所以 4?X?Y?/2?125~N(0,1)。 X?Y?250~N(0,1)，
55/2242.6?250)?1??(1.48)?0.0694， 因此P{X?Y?242.6}??(5（2） 因为
W1~N(250,25)，W3~N(125,P{(X?Y)/2?125?5}?1?P{?5?(X?Y)/2?125?5}
55???1???()??(?)?
2.5??2.5?2?2?(2) ?0.0456
10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计）
X~N(10,0.22)，垫圈直径（以mm计）
Y~N(10.5,0.22)，X,Y相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。
（2）在（1）中若
X~N(10,0.22)，Y~N(10.5,?2)，问控制?至多为多少才能使螺栓能装
入垫圈的概率不小于0.90。 解：（1）根据题意可得
X?Y~N(?0.5,0.08)。螺栓能装入垫圈的概率为
?0?(?0.5)?。 P{X?Y}?P{X?Y?0}????6????(1.77)?0.9610.08??（2）
X?Y~N(?0.5,0.04??2)，所以若要控制
???0.90??(1.282)， ???0?(?0.5)P{X?Y}?P{X?Y?0}????2?0.04??即要求
0.50.04??2?1.282，计算可得??0.3348。表明?至多为0.3348才能使螺栓能装入垫
圈的概率不小于0.90。
11,设某地区女子的身高（以m计）
W~N(1.63,0.0252)，男子身高（以m计）
（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子M~N(1.73,0.052)。设各人身高相互独立。
比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。 解：（1）因为M
?W~N(0.1,0.003125)，所以
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P{W?M}?P{M?W?0}??()??(?1.79)?1?0.9633?0.0367；
0.0031250?0.1（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为
1.60?1.63P{W?1.60}?1??()??(1.2)?0.8849，
0.025)，所以至少有4名的身高大于随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布B(5,0.88491.60的概率为
45C5?0.88494?(1?0.8849)?C5?0.88495?0.8955
（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量
150W1,?W50，W??Wi50i?1。则
1500.0252W??Wi~N(1.63,)，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为
50i?150P{W?1.60}?1??(
12，（1）设随机变量
1.60?1.630.025/50)??(8.49)?1
X~N(?,?2)，已知P{X?16}?0.20，P{X?20}?0.90，求?和
?；
（2）
X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，求P{3X?2Y?6Z?7}。
解：（1）由P{X?20??P{X?20}??()?0.90??(1.282)，得到20???1.282????0.84?和20???1.282?，计算得到?16???16}??()?0.20??(?0.84)，得到16????0.84?；
；
联立16??（2）由故所以
?17.5834,??1.8850。
X,Y,Z相互独立且都服从标准正态分布，得到3X?2Y?6Z~N(0,49)。
?7?0)?1??(1)?0.15877P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(
13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出Z,X,m的关系式；
X~N(0,7.52)，X以
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（2）求Z的分布；
（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m?Z?30?X或者Z?m?30?X；
（2）因为
X~N(0,7.52)，所以Z~N(m?30,7.52)；
?450}?0.95，即要
（3）要使得P{Z?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.95，
7.5??所以要求??m?480?m?480??1.645，m?492.3375。所以，??0.95??(1.645)，即
7.57.5??要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。
14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y（1）求Z的分布；
（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。 解：（1）此时Z~N(30,9)，设X,Y相互独立。
?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得
Z~N(m?30,65.25)。
（2）P{Z?450?(m?30)??m?480??450}?1?????????????0.90??(1.282)，
65.25???65.25??1.282，即 m?490.36。
可得
m?48065.25
15，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。 解：设这100
1100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，X?Xi?100i?1。则E(X)?2，
D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极限定理可得
P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1100X?21.8?21.8?2?}?1??()??(1)?0.84130.20.20.2 16，以
X1,?X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，
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E(Xi)?25(kg),D(Xi)?1,i?1,2,?100.X1,?X1001100X?Xi?100i?1，求P{24.75?服从同一分布，且相互独立。
X?25.25}的近似值。
D(X)?1100。由独立同分布的中心极限定理可得
解：根据题意可得E(X)?25(kg),P{24.75?X?25.25}?P{24.75?25X?2525.25?25??}??(2.5)??(?2.5)
0.10.10.1?2?(2.5)?1?0.9876
17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间(?0.5?10?7,0.5?10?7)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于0.5?10?6的
概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784） 解：以
X1,?X400记这400个数据的舍入误差，
1400X??Xi400i?1。则
10?14E(X)?0,D(X)?。利用独立同分布的中心极限定理可得
4800P{?Xi?0.5?10?6}?P{?0.125?10?8?X?0.125?10?8}
i?1400
?P{?0.125?10?8104800?14?X104800?14?0.125?10?8104800?14}
??(0.2512)??(?0.2512)
?2?(0.866)?1?0.6156
18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要
170?安装白色电话机的部数为X，求P{X?185}，P{X?190}，P{X?180}；（2）问至
少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。 解：（1）根据题意，X~B(1000,0.2)，且E(X)?200,D(X)?160。
由De Moivre-Laplace定理，计算得
185?0.5?200170?0.5?200P{170?X?185}??()??()
160160
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??(?1.15)??(?2.41)?(1?0.8749)?(1?0.9920)?0.1171；
190?0.5?200P{X?190}?1??()?1??(?0.83)?0.7967；
160180?0.5?200P{X?180}??()??(?1.54)?1?0.9382?0.0618。
160（2）设要安装n部电话。则要使得
P{X?50}?1??(0.2n?49.50.16n50?0.5?0.2n0.16n)?1??(49.5?0.2n0.16n)?0.95
就要求?()?0.95??(1.645)，即
0.2n?49.50.16n?1.645，从而
0.04n2?20.232964n?2450.25?0，解出n?304.95或者n?201（舍去）。
所以最少要安装305部电话。
19，一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律 X 8 9 10 0.01 0.29 0.70 pk （1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。
（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意，E(X)（1）以
?9.69，D(X)?94.13?9.692?0.2339。
X1,?X10分别记10次射击的得分，则
P{?Xi?96}?P{i?1i?110?X10i?96.9?96?96.92.3392.339}??(96?96.92.339)??(?0.59)?0.2776
（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则YMoivre-Laplace定理，计算得
~B(900,0.01)。由
De
P{Y?6}?1??(
6?0.5?900?0.01)?1??(?1.17)?0.8790。
900?0.01?0.99（第4章习题解答完毕）
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