??x?t:n?t???????(t?n)??Ax?t:n?t?P(Ax:n)?atV(Ax:n)??
??1????????????????????????????????????????????(t?n)(4)限期h年缴费的两全保险
??x?t:n?t????????(t?h)?Ax?t:n?t?P(Ax:n)?a??hV(A)??Ax?t:n?t????????????????????????????????????(h?t?n) tx:n???1??????????????????????????????????????????????(t?n)3．年金保险准备金
(1)n年延期期初终身生存年金保险
??x?t?P(n|a??x)?a??x?t:n?t?????????(t?n)??n?t|a??tV(n|ax)??
??a?????????????????????????????????????????(t?n)??x?t（2）限期h年缴费的n年延付期初终身生存年金保险
??x?t?hP(n|a??x)?a??x?t:n?t???????(t?h)?n?t|a?h????x?t????????????????????????????????????(h?t?n) V(a)??n?t|atn|x????ax?t?????????????????????????????????????????(t?n)
（二）追溯法
1．在死亡年度末提供保额的保险准备金 （1）终身保险
tx???V?Px?Sx:t?Px1:n???1?Px:n?A1x??:ttEx???k ?Px?Stxx:t（2）n年定期保险
???k???????????????????????????(t?n)?Stxx:t????Sx:t1
?????????????(t?n)t?nEx?ntExA1x:n1Vtx:n
（3）n年两全保险
tx:nV???k??????????????????????????(t?n)?Px1:n?Stxx:t???1???????????????????????????????????????????????(t?n) ?0???????????????????????????????????????????????(t?n)?
（4）限期h年缴费的n年两全保险
16
1?A??hPx:n?S??x:t?x:n??????????????????????(t?h)tExhVx:n?????P1A1hx:n?S??x:t??x:n?????????(h?t?n)?t?nEx?ntEx
?1???????????????????????????????????????????????(t?n)??0???????????????????????????????????????????????(t?n)
2．在死亡后立即提供保额的保险准备金 （1）终身保险
tV(Ax)?P(A???A1x:nx)?Sx:t?P(Ax)?S??x:ttxtE?k x（2）n年定期保险
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tV(A1x:n)???x:nx:ttx??0?????????????????????????????????(t?n)
（3）n年两全保险
?P(Ax:n)?S???k?????????(t?n)
V(A?x:ttxtx:n)??1????????????????????????????????????(t?n)? ?0???????????????????????????????????(t?n)
④限期h年缴费的n年两全保险
??hP(Ax:n)?S??x:t?tkx??????????????????????(t?h)h?A?hP(A)?S???1?tkx????????(h?ttV(x:nx:t?n)x:n)???t?hEx?h?1???????????????????????????????????????????????????(t?n)??0??????????????????????????????????????????????????(t?n)
3．年金保险准备金
（1）n年付期初终身生存年金保险
?P(n|a??x)?S??????????????????????????????????????(t?n)
tV(n|?a??x:tx)??????P(n|?a?x)?S??1ax?n:t?n x:t?????????(t?n)t?nEx?nt?nEx?n
17
②限期h年缴费n年延付期初终身生存年金保险
?????????????????????????????????????????????(t?h)??P(a)?Shn|xx:t??1?h?????????????????????????????????(h?t?n)tV(n|ax)??hP(n|ax)?Sx:h? t?hEx?h????x?n:t?na1????x)?Sx:h??hP(n|a?????????????(t?n)?t?hEx?ht?nEx?n?
（三）预期法与追溯法的等价性及其运用规则 1.预期法与追溯法所计算出的责任准备金相等。在保险费缴纳期结束后的某时刻的准备金计算，宜用未来法。因为未来没有保费收入，仅有保险金支出。在无须提供保险金的期间内某时刻的责任准备金的计算，则宜用过去法，因为过去没有保险金支付。
2.负准备金产生的可能性及处理对策
对于大多数常见的保单，若采用均衡保险费制，则责任准备金为正；然而有些保单，责任保险金可能为负。如保额递减的一些保单，较早一些年份可能出现负责任准备金。
在实务中，保险人一般并不单独发行这种保单，往往与生存保险（如年金保险）结合起来，可以消除负责任准备金的情形。
例8.1某25岁被保险人投保了保额为15000元的终身死亡保险，终身缴费，年缴一次均衡保费，求其第15年末责任准备金 （以1958CSO3%替换函数为基础）。
? 解：先求年缴费一次终身缴费的均衡纯保费P25A25M25?P?15000?15000?169.1753299?169.18 25??25aN2511???过去法：15V25?15000P 25S25:15?15000A25:15E1525N25?N40M25?M40??P?15000?2652.01（元） 25D40D40??15000A?a???P未来法：V
152525?152525?15 ?15000
M40N?P'2540?2652.01（元） D40D40
§8.3 均衡纯保费准备金的不同表达式
前面我们研究了责任准备金计算可以采用未来法、过去法来计算，因而有未来法与过去
两种表达式。本节则运用人寿保险趸缴保费与生存年金精算现值之间的关系以及年缴保费与生存年金精算现值之间的关系，从未来法表达式出发，研究责任准备金的生存年金现值表达式、人寿保险趸缴保费表达式和人寿保险年缴保费表达式。
一、年缴费一次，于死亡年度末提供保额的保险准备金
（一）终身保险
18
??x?ta年金精算现值表达式：tVx?1?
??xaAx?t?Ax 趸缴纯保费表达式：tVx?
1?AxPx?t?PxV? 年缴纯保费表达式：tx
Px?t?d（二）两全保险
年金精算现值表达式：tVx:n趸缴纯保费表达式：tVx:n年缴纯保费表达式：tVx:n??x?t:n?ta?1???x:na
??Ax?t:n?t?Ax:n1?Ax:nPx?t:n?t?Px:nPx?t:n?t?d
二、年缴连续纯保费，于死亡后立即提供保额的保险准备金
（一）终身保险
年金精算现值表达式：tV(Ax)?1?ax?tax
Ax?t?Ax趸缴纯保费表达式：tV(Ax)?1?Ax
P(Ax?t)?P(Ax)年缴纯保费表达式：tV(Ax)?
P(Ax?t)??
（二）两全保险
年金精算现值表达式：tV(Ax:n)?1?ax?t:n?tax:n
趸缴纯保费表达式：tV(Ax:n)?)?Ax?t:n?t?Ax:n1?Ax:n
年缴纯保费表达式：tV(Ax:n
P(Ax?t??)?P(Ax??):n?t:nP(Ax?t??)??:n?t
三、年缴m次真实纯保费，于死亡所在1m年末提供保额的保险准备金险
（一）终身保险
19
(m)??a(m)(m)?t(Ax)?1?x年金精算现值表达式：tV(m)??xa
(m)(m)A?A(m)(m)(Ax) ?x?t(mx) 趸缴纯保费表达式：tV1?Ax
(m)(m)(m)(m)P(A)?P(Ax?tx)(m)(m)(Ax)?年缴纯保费表达式：tV (m)(m)P(m)(Ax)?d?t
（二）两全保险
(m)??a(m)(m)x?t:n?t(Ax)?1?年金精算现值表达式：tV(m):n??xa:n
趸缴纯保费表达式：tV(m)(m)(Ax) ?(m)(m)Ax?A?t:n?tx:n(m)1?Ax:n
(m)年缴纯保费表达式：tV(m)(Ax)?(m)(m)(m)P(m)(Ax)?P(A)?t:n?tx:n(m)(m)P(m)(Ax)?d?t:n?t
§8.4 相邻年度末责任准备金之间的关系
本节主要讨论相邻保险年度末责任准备金之间的关系，又称为递推公式。其作用之一就是据此可以求出各年末责任准备金；其作用之二就是可以阐述责任准备金的形成机制。
一、终身保险在相邻年度期末准备金之间的关系
?Px?vqx?t?vPx?t?t?1Vx
Vx （二）lx?t?(tVx?Px)(1?i)?dx?t?lx?t?1?t?1Vx)V?qx?t?(V?t?1Vx?tVx) （三）Px?(1?t?1Vx)?(V?t?1Vx?tVx)lx?t （四）lx?tPx?vdx?t(1?t?1公式（一）、（二）反映了年初责任准备金的使用情形；公式（三）、（四）则反映了
年度保费可以分解为储蓄保费与危险保费之和。
（一）tVx二、一般保险在相邻年度的期末准备金的关系
（一）(tV?P)(1?i)?bt?1?qx?t?px?t?t?1V
qx?t1?iV?(tV?P)??bt?1?（二）t?1
px?tpx?t或者为Fackler公式：
20
V?t?1Dx?tC(tV?P)?x?tDx?t?1Dx?t?1