运算而得出比较清晰的物理图象．
三、衍射的分类：
衍射系统一般由光源、衍射屏和接受屏组成的。按它们相互距离的关系，通常把光的衍射分为两大类：
1．菲涅耳衍射：当光源和屏，或两者之一离障碍物的距离为有限远时产生的衍射现象。
2．夫琅和费衍射：当光源和屏离障碍物的距离均为无限远时产生的衍射。
夫琅和费衍射的特点是用平行光，实验室中是用透镜来实现。
本书只讨论夫琅和费衍射。
四、单缝夫琅和费衍射：
1．实验装置：当单色平行光垂直入射到单缝上后，由缝平面上各面元发出的向不同方向传播的平行光束，
被透镜会聚到放在其焦平面处的屏幕上，则在屏幕上可以观察到衍射条纹。
2．实验现象：
可观察到一组平行于狭缝的明暗相间的衍射条纹，屏幕中心为中央明纹，两侧对称分布着其它明纹。
3、定性分析
如图13-20（a）所示．光源S发出的光经透镜L1变为平行光，通过单缝后由透镜L2会聚，在焦平面处的屏幕E上呈现衍射图样．此即为夫琅禾费单缝衍射（以下简称单缝衍射）．下面我们来分析单缝衍射图样的形成及其特点．
设单缝宽度为a，入射光波长为λ，如图13-20（b）所示．缝AB为入射平行光波前的一部分，其上每一点都向各方向发射初相位相同的子波，即衍射光线．方向相同的一组衍射线经透镜L2会聚于屏幕上同一点，不同方向的衍射线分别会聚在屏上不同位置．衍射线的方向用衍射线与缝平面法线的夹角φ表示，φ称为衍射角．
当衍射角φ=0，即衍射线1与入射光同方向，衍射线1经透镜L2会聚于焦点P0．由于透镜不产生附加
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的光程差，同相位面AB到会聚点P0等光程，故各衍射线到达P0点时同相位，它们相互干涉加强，在P0处就形成平行于缝的明纹，称为中央明纹．
当φ角为其他任意值时，相同φ角的衍射线2经透镜L2会聚于屏上某点P．显然，由缝AB上各点发出的衍射线到P点光程不等．过A作平面AC与衍射线2垂直，则从AC面上各点到P点是等光程的，这样，从AB面上各点发出的衍射线到达P点的最大光程差为BC?asin?．由于各子波间光程差连续变化，P点的光强可由菲涅耳提出的巧妙的方法即菲涅耳半波带法来解决．
如图13-21所示，作一组间距为
?的平面与AC面平行，它们将单缝处的波2面AB沿缝宽方向分成了一系列等宽的狭长波带，称为菲涅耳半波带，即图中的AA1、A1A2、A2B等．因各波带面积相等，它们在P点引起的光振动振幅近似相等．两相邻波带上对应点发出的子波到达P点的光程差总是
?，即相位差总是π，经过2透镜聚焦，由于透镜不产生附加的光程差，因此到达P点时相位差仍然是π，所
以任何两个相邻波带所发出的子波在P点引起的光振动将完全相互抵消．如果对应于某衍射角φ，缝AB恰能分成偶数个半波带，即BC为半波长的偶数倍，则P处为暗条纹中心；如果缝AB恰能分成奇数个半波带，即BC为半波长的奇数倍，则相邻两波带相互抵消后还剩下一个半波带的作用，因而 P处为明条纹中心；如果缝AB不能分成整数个半波带，则屏上相应处的光强将介于明暗条纹之间．
当衍射角φ由小变大时，缝可分成的半波带数由少到多，不断经历奇、偶、奇、偶??的变化过程，因而屏上从中央到两侧就呈现明暗条纹的相间分布，形成单缝衍射图样．
将以上分析结果用解析式表示．各级条纹的中心位置由下式确定：
??0 零级明纹（中央明纹） （13-29）
?asin??(2k?1) ?k??1,?2,?? 明纹 （13-30）
asin??2k?22 ?k??1,?2,?? 暗纹 （13-31）
式（13-30）和式(13-31)中正负号表示各级衍射条纹对称分布在中央明纹两侧． 下面进一步分析衍射图样的特点： 1．条纹及光强分布
如图13-22所示，由中央到两侧，条纹级次由低到高，光强迅速下降．中央明纹集中了绝大部分光能，而各级明条纹的亮度随着级次的增加而减少，这是因为k越大，缝被分成的波带数越多，而未被抵消的一个波带的面积占单缝总面积的比例越小．
2．条纹宽度
正负第一级暗纹中心对透镜L2光心所张的角度称为中央明纹的角宽度．如图13-23所示，其角位置满足
???asin???
在夫琅禾费单缝衍射中，φ一般很小，有sinφ≈φ，因而上式可以写成
?故中央明纹的角宽度为
?a????a
??0?????设透镜L2的焦距为f，则中央明纹的线宽度为
2? （13-32） ?????a?a?a??0??2f （13-33） 2a?x0?2ftan 16
第k级和第k+1级暗纹中心对透镜L2光心所张的角度称为第k级明纹的角宽度，其角位置φ满足
k?k?1?sin???aa
当φ很小时，其角宽度
??=
k?1k?λ—λ= （13-34）
aaa可见中央明纹的角宽度是其他明纹角宽度的两倍．
3．缝宽对衍射图样的影响
由式（13-32）和式（13-34）可知，当波长λ不变时，各级条纹的角宽度与缝宽a成反比，即缝宽a越小，缝对入射光的限制越狠，条纹扩展越宽，衍射效应越显著；反之，缝越宽，衍射效应越不明显．当a?λ时，各级明条纹的角位置φ都趋于零，即各级明条纹都向中央明纹靠拢，密集得无法分辨，因而在屏中央形成单一的亮线，这亮线就是光源S经过透镜后所成的几何像，所以，几何光学可以认为是波动光学在
?→0时的极限情况． a4．波长对衍射图样的影响
由式（13-30）和式（13-31）可知，当缝宽不变时，各级条纹的角位置与波长成正比．如用白光入射，
因各种波长的中央明纹仍在屏中央，所以中央明纹仍为白色，在中央两侧，对于同一级明纹，波长越长，衍射角越大，这样就形成了一系列由紫到红的彩色条纹，这种衍射图样就称为衍射光谱．
例题13-4 用波长λ=632.8nm的平行光垂直照射单狭缝，缝宽为a，缝后放置一焦距f '=40cm的透镜．当a?0.1mm或a?4.0mm时，试求在透镜焦面上所形成的中央明纹的线宽度及第一明纹的位置．
解 由公式知中央明纹的线宽度?x0?2f?则
?a，设第一级明纹的角位置为φ1，到中央明纹的距离为x1，
(2k?1)x1?f?tan?1?f?sin?1?f?（1）当a=0.1mm时，
?2?3f??
2aa632.8?10?9?x0?2f??2?40?10?m?5.1mm
a0.1?10?33?3x1?f???x0?3.8mm
2a4??2(2) 当a=4.0mm时，
632.8?10?9?x0?2f??2?40?10?m?0.13mm ?3a4.0?103?3x1?f???x0?0.1mm
2a4??2可见，当a=4.0mm时，由于缝太宽，条纹已密集得难以分辨，只能看到中央亮纹（即光源的几何像），衍射现象已观察不到了．
小结：
? 光的衍射现象 ? 惠更斯-菲涅耳原理 ? 衍射的分类
? 单缝夫琅和费衍射实验现象 ? 单缝夫琅和费衍射的定性解释
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§13-5 衍射光栅
引言：对于单缝： b=λf/b
若缝宽b大，条纹亮，但l小，不易分辨，若缝宽b小，l大，但条纹暗，也不易分辨。因而利用单缝衍射不能精确地进行测量。
问题：能否得到亮度大，分得开，宽度窄的明条纹？ 结论：利用衍射光栅所形成的衍射图样——光栅光谱 应用：1）精确地测量光的波长；
2）是重要的光学元件，广泛应用于物理，化学，天文，地质等基础学科和近代生产技术的许多部门。
一、光栅的衍射： 1．光栅：
用金刚石尖在玻璃片上刻划大量的等宽且等间距的平行刻线，可以构成原板的平面透射光栅，在每条刻痕处，入射光向各个方向散射而不易透过；相邻两个刻痕之间的玻璃面是可以透光的部分。相当于一个狭缝。这样的光栅称为透射光栅。
对于可见光的光栅，要在1厘米宽的玻璃上刻划几百乃至几万条平行且等间距的刻痕，这是一种十分精密的技术。实验室中使用的是复制光栅。全息光栅是利用单色激光的双缝干涉图样来代替刀刻痕的，充分利用了单色光杨氏双缝干涉条纹具有等宽、等间距的特点。
除透射光栅外，还有平面发射光栅和凹面光栅等。
光栅上每个宽度b和相邻两缝之间不透光部分的宽度b’之和d=b+b’称为光栅常量。光栅常量代表相邻两缝对应点之间的距离，是代表光栅性能的重要参数。
2．光栅衍射的实验装置和衍射图样：
单色平行光垂直照射到光栅上，从各缝发出衍射角θ相同的平行光由透镜聚L会聚于平面处屏上的同一点，衍射角不同的各组平行光则会聚于不同的点，从而形成光栅衍射图样。光栅衍射条纹的主要特点：明纹细而明亮，明纹间暗区较宽。
? 屏幕上对应于光直线传播的成像位置上出现中央明纹； ? 在中央明纹两侧出现一系列明暗相间的条纹，两明条纹分得很开，明条纹的亮度随着与中央的距离增大而减弱；
? 明条纹的宽度随狭缝的增多而变细。 3．光栅衍射图样的形成：
当光栅中的每一条缝按单缝衍射规律对入射光进行衍射时，由于各单缝发出的光是相干光，在相遇区域还要产生干涉，因此光栅衍射图样与干涉的综合结果：
1）多缝干涉：
在相邻的两个极大明纹之间，有N-1个暗纹，在这N-1个暗纹之间显然还有N-2个次级大明纹，以致在缝数很多的情况下，两主极大明纹之间实际上形成一片暗区。
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2）单缝衍射：
光栅上的每一狭缝都要单独产生衍射图样，但是每个衍射图样只取决于衍射角，与缝的上下位置无关。这是由透镜的会聚规律决定的。因此，每个单缝在屏幕上形成的衍射图样的位置和光强分布都相同。
3）综合：
N个单缝衍射合成后，得到光强分布曲线与单缝衍射相似但是明纹亮度
更亮的衍射图样。结果是缝间干涉形成的主极大光强受单缝衍射光强分布的调制，使得各级极大的光强大小不等。
4、光栅方程
1．垂直入射时的光栅方程：
?b?b'?sin???k?， k ? 0，1，2，? k=0：对应于中央明纹 ±： 表示各明纹在中央明纹两侧对称分布 说明：
1）明纹位置由kλ/(a+b)确定，与光栅的缝数无关，缝数增大只是使条纹亮度增大与条纹变窄；
2）光栅常数越小，条纹间隔越大； 3）由于|sinθ|≤1，k的取值有一定的范围，故只能看到有限级的衍射条纹。
讨论：
? 缝宽对条纹分布的影响 ?
b减小，单缝衍射中央包线宽度变宽，中央包线
内亮纹数目增加;
? b增大，单缝衍射中央包线宽度变窄，中央包线内亮纹数目减少。
? 光栅常数对条纹分布的影响
? 光栅常数d变小，光栅刻线变密，条纹间距增大，条纹变稀，中央包线内亮纹数目减少;
? 光栅常数d变大，光栅刻线变疏，条纹间距减小，条纹变密，中央包线内亮纹数目增加。
? 光栅刻线数目对条纹分布的影响 ? 波长对条纹分布的影响 2．斜入射时的光栅方程：
k?0，1，2，? ?b?b'??sin??sin????k?， θ——衍射角 φ——入射角
5、光栅的缺级
在θ方向的衍射光在满足光栅明纹条件 若同时还满足单缝衍射暗纹公式
衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号； 衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。 ???k?， k ? 0，1，2，? ?b?b'?sin???k??， k ? ?1，2，3,? bsin则尽管在θ衍射方向上各缝间的干涉是加强的，但由于各单缝本身在这一方向上的衍射强度为零，
其结果仍是零，因而该方向的明纹不出现。这种满足光栅明纹条件而实际上明纹不出现的现象，称为光栅
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