静电场中常用公式结论
⑴真空两点电荷间力： F?q1q24??2
0r⑵静止点电荷电场分布：E?q4??0r2er （q 为场源电荷）
⑶通过某一面积的电通量：???E?dS （为穿过S的条数）
s⑷对于封闭面???sE?dS （为穿过封闭曲面的净条数）
⑸高斯定律：???E?dS?1s??qin
0⑹典型静电场：
①均匀带电球面 ：球内E=0 球外 E?q4??2er
0r②无限长均匀带电直线：E??2?? （方向垂直带电直线）
0r ③无限大均匀带电平面：E??2? （方向）
0④均匀带电球体： 球内 E?qq4??0R3r??3?r 球外 E?04??2er
0r⑺几个常数：
静电力常量： k?q?109N?m2/C2 真空介电常量：?10?4?k?8.85?10?12C2/(N?m2)
⑻各物理概念间的联系： 沿径向积分
点电荷电场E?q4??er????????电势??q0r24??0r
E又叫做电场密度 故电通量???E?dS （条数=密度?面积）
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《大学物理》作业
No.3 静电场
一、选择题：
1、下列几个说法中哪一个是正确的？ （ C ） （A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；
（ B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；
??? （C）场强方向可由E?Fq定出，其中q为试验电荷的电量，F为试验电荷所受电场力； D）以上说法都不正确。
注意：①跟物体在重力场中移动过程中重力做功一样，电荷在电场中移动时电场力做功．电荷在静电场中从一点移到另一点时，电场力的功的值只跟始末两点的位置有关，而和所经过的路径的形状完全无关．如果电荷在静电场中的某点出发沿任意闭合路径又回到原出发点(即始末两点，在同一位置)，电场力所做的功等于零．具备这种特点的力和场称为保守力和保守场．静电场力和重力都是保守力，静电场和重力场是保守场．
②A还取决于该点电荷的电量（是否影响原来电场线的分布）和电性。
③ 有源无旋是针对静电场而言的，“有源”来自于静电场的高斯定理，激发电场的电荷即是源；“无旋”来自于静电场的环路定理，是说静电场电场线是不闭合的，故而电场强度矢量环流为0,你也可以按照旋度的定义来推算一下，你会发现静电场的旋度在各处均为0，故而是无旋场。 ④有旋电场：变化磁场在其周围激发的电场。又称涡旋电场或感应电场。有旋电场是J.C.麦克斯韦为解释感生电动势而提出的概念，它深刻地揭示了电场和磁场的相互联系、相互依存。有旋电场和静电场是两种不同的电场。它们的共同点是都能对其中的电荷有作用力，静电场对电荷的作用力叫做静电力或库仑力，有旋电场对电荷的作用力则是一种非静电力。它们的区别是产生原因不同，性质不同。静电场是静止电荷产生的，有旋电场是变化磁场产生的。静电场的高斯定理和环路定理（见安培环路定理）表明，静电场是有源无旋场，正、负电荷就是它的源头和尾闾，它的电力线不闭合，可以引入电势（标量）来描述静电场。有旋电场是无源有旋场，不存在源头和尾闾，它的电力线是闭合的，无法引入相应的标量势函数。有旋电场是一种左旋场，即磁场增加的方向与由此产生的有旋电场的方向构成左手螺旋关系。作为对比，电流产生的磁场也是有旋场，但电流的方向和它所产生的磁场的方向或右手螺旋关系，所以是右旋场。总的电场是静电场和有旋电场之和，它是既有源又有旋的矢量场。总电场的高斯定理和环路定理是麦克斯韦方程组的重要组成部分。 ☆2、如图所示，一个带电量为q的点电荷位于正方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于： （ C ） （A）
q6?0； (B)
q12?0；
(C)
q24?0； (D)
q36?0。
注意：构造高斯面。
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3. 有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为2a．今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面 ． 在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示．设通过S1和S2的电场强度通量分别为?1和?2，通过整个球面的电场强度通量为?S，则（ D）
(A)??1＞?2，?S＝q /??0． (B) ?1＜?2，?S＝2q /??0． S S q2 q 1 x (C) ?1＝?2，?S＝q /??0．
2a O （D）?1＜?2，?S＝q /??0
4、关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 （ D）
?（A）如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷； ?（B）如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零； ?（C）如果高斯面上E处处不为零，则该面内必有电荷；
（D）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零。
注意：①高斯定理：在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面S的电通量?e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以?0 而与闭合曲面外的电荷无关。
②关于闭合曲面的说明：与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 若q不位于球面中心，电通量不变。若封闭面不是球面，电通量不变。
③??0等价于没有电荷或静电荷量为0或电场线与面平行。
④E是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷（面内外电荷）共同产生的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。 ⑤电通量只与内部电荷有关。
5、两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量Q球面里面、距离球心为r处的P点的场强大小E为： （ D ） （A）
Q1?Q4??0r22?2，则在内
； （B）
Q14??0R21?Q24??0R22； （C）
Q124??0r； （D）0。
注意：导体的静电平衡：
①导体内部各处净电荷为零，电荷只分布在导体的表面上。
②导体表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大。 ③导体表面上各处的面电荷密度与当地表面紧邻处的电场强的大小成正比。 ④导体表面是一个等势面。导体是个等势体。 ⑤内部场强为0.
6. 一带正电荷的物体M，靠近一原不带电的金属导体N，N的左端
生出负电荷，右端感生出正电荷．若将N的左端接地，如图所示，则 M
感
N8
（ B）
(A) N上有负电荷入地． (B) N上有正电荷入地． (C) N上的电荷不动．
(D) N上所有电荷都入地．
解：靠近带电体的一端带负电，远离带电体一端不带电。接地物体靠近-Q的一端不带电，远离-Q的一端带负电 。因为如果物体不接地，则靠近-Q的一端带正电，远离的一端带负电，接地后，大地中的电子会流入物体中，中和了近端的正电荷，从而产生上面的结果。 用这种接地感应是得到单性带电体的一种重要方法。 二、填空题：
☆1、电荷面密度为?的均匀带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图1所
??2?0?R2示，则通过此半球面的电通量为 解：无限大平面场强大小为
?2? 。
，方向沿平面法线方向，但具体向哪不确定。故
0?2??Ecos?ds???R e?2?0s???2、在高斯定理?中，在任何情况下，式中E的是否完全由高斯面包围的电荷?q?s?q/??0??Ed激发？ 否 。（填“是”或“否”）
??解：S面内部的?q?0并非S面上各点E都为零，仅是E的面积分：??E?ds为零。面上某一点
?的E由面内外的所有电荷共同激发。
★3、一根有限长的均匀带电直线，其电荷分布及所激发的电场有一定的对称性，能否利用高斯定理来算电场强度？ 不能 。（填“能”或“不能”）
解：特别是当所求点与该带电直线的距离与该直线的线度可比拟时更无法用高斯定理求得各该点处的
?场强。因为此时??E?ds??q中E??0不能从积分号中提到积分号 5、两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为??和?2?，如图2所示。设方向向右为正，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：
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EA??2?0， EB?3?2?0， EC???2?0。
解：场强叠加：E??A?2???2?3??2??，E， ?????E????BC2?02?02?02?02?02?02?02?02?0
图1 图2
电荷为－5×10-9 C的试验电荷放在电场中某点时，受到 20×10-9 N的向下的力，则该点的电场强度大小为_____4____，方向___向上__． 三、计算题：
1、（p30 习题10.6）一均匀带点直线段长为L,线电荷密度为?。求直线段的延长线上距L中点为
r(r?L/2)处的场强。
如图10.3所示，电荷元dq??dx在P点的场强为
?dx4??0(r?x)2dE?
整个带电直线在P点的场强为
E??dE??L/2?dx4??0(r?x)2?L/2=
?L4??0(r?L/4)22
方向沿x轴正向。
3、（p31 习题10.14）两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R1?R2），带有等值异号电荷，?r?R单位长度的电荷量为?和??，求距轴线r处的场强，当（1）r?R1；（2）R；（3）r?R2。 12解：根据电场分布的轴对称性，可以选择与圆筒同轴的圆柱面（上下封顶）作高斯面，根据高斯定律可以求出：
在圆柱内， r?R1,E?0 在两圆柱间，R1?r?R2,E??2??0 在外圆柱外，r?R2,E?0
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