的研究工作在很大程度上仍然依靠个人的灵感和创造力，也就是依靠于个人的思维活动。）
3.数学的思想实验表现为内部思维动作的操作过程，其他科学则表现为外部行为动作的操作过程。
4.数学中的弱抽象方法：在数学的思想活动中，有一类方法是在同类的事物中抽取关于数量、空间形式或结构关系方面的共同属性，舍弃其他的特征，从而形成新的数学概念。这种舍弃一部分属性保留共同属性的抽象过程称之为“弱抽象”。
5.弱抽象的特点是，用弱抽象得到的数学对象，一般是概念外延的扩大，而内涵的减少。
6.弱抽象方法是数学思想活动的主要方法之一。弱抽象的本质在于舍弃。（14） 7.一般而言，只有内容结构较为丰富的对象，才能成为弱抽象的原型。
8.数学中的强抽象;数学思想活动中，有一类方法是把新的特征或属性添加到已有的数学结构中，从而形成新的数学概念，这种通过在原有数学结构中添加新的性质来获得新数学概念的抽象过程，称之为“强抽象”。（14）
9.强抽象的特点是，强抽象方法获得的数学对象，一般在概念的外延上缩小了，但内涵或结构更加丰富和具体了。
10.强抽象方法的本质在于“添加”，强抽象是将不同数学概念或结构有机地结合起来。 11.强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法。从思维活动的方法看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程。（15）
2.1.4数学抽象的理想化特点
1.数学中的很多概念是理想化抽象的产物。（15）（如平面几何中点、直线、平面以及解析几何的笛卡尔坐标系，是最典型的理想化抽象。）
2.数学的理想化抽象之所以适用于对现实世界的研究，并成为认识现实世界的有力手段，是因为这种对现实对象和过程的理想化，具有扎根于现实世界的合理性和潜在
的可实现性。（15）
3.自然数公理化概念即是建立在这种潜在的可实现基础之上。几何图形的无限分割，也是一种潜在的可实现思想的体现。
2.1.5数学抽象的形式化特点
1.数学抽象性的与众不同之处是数学的抽象具有形式化特点。（15）
2.数学抽象性的形式化主要表现在两个方面：数学语言的形式化、数学概念命题的形式化3.数学语言的形式化：数学思想活动的结果必须要以某种形式记录和表达出来，在这方面，数学采取的是形式化语言，也就是说数学语言是“形式化”的。
4.数学语言的形式化，首先表现为符号化。数学符号是数学抽象物的表现形式，是数学存在的具体化身，是对现实世界数量关系空间形式和结构关系反应的结果。数学符号按一定规则组织起来，就成为数学思想材料的材料的物质载体―――数学语言 5.数学符号代表了特定的数学含义，但是仅仅看他们的表面并不能看出内在的意义，因而是一种形式，或者说它只是所代表实质的形式的外壳，只有懂得它们的意义的人，才能把这个形式与其意义联系起来，才能剥去形式的外壳看见他们的实质。（16） 6.数学概念、命题的形式化：数学语言中有一个共同的句法形式是“如果……那么……”或“若……则……”。即数学的论断都是建立在假设的基础之上，如果假设不成立，那么论断也就不成立了。（16）
7.数学是在以假设为前提的基础上进行自身的科学理论建设的。（16）
8.数学的形式化不等于数学的符号化，数学的符号化是数学形式化的一部分。（16）
他们的差别在于：符号化着眼于各种数学抽象物本身及其关系的形式上的表述。形式化着眼于各种数学抽象物之间本质联系的形式上的表述，目的是把纯粹的数量关系或结构关系以简洁明了的形式加以表述，以便揭示各种抽象物的数学本质和规律。
9.对数学形式化有一个正确的认识，对数学教育而言十分重要。（17）（因为，教师和
学生在教与学的活动中，不仅要掌握数学对象的形式，更要理解数学形式所包含的数学对象的本质属性，透过形式抓住本质。）（辨析题）
2.2数学的确定性特征
1.数学的确定性由数学对象的抽象性决定。（17）（数学抽象保留了事物的共同的本质，只有这些本质的东西才是稳定的、确定的、不变的，事实上数学正是研究在一定数学运动变换下的不变性质。）（辨析题） 2.数学的确定性由数学方法的抽象性决定
数学方法的基本点就是概念的明晰性。（无论是数学家研究数学，还是学习者学习数学，其首要任务就是明白其面临问题所涉及的概念，概念不明确一切数学活动都不能进行下去。）（17）
数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。 3.数学的确定性由逻辑方法本身的精确性决定。（18）
在逻辑方法中，一切使用的概念在推理中必须服从规则。
由于逻辑方法具有确定的推理规则，一切概念服从规则，这使得逻辑方法本身具有了确定性。，进而使得经由逻辑方法检验而获得真理性的数学有了确定性的保证。（18）
4.数学的确定性由公理化的结构决定。（18）
将某些概念以及它们之间在关系当做原始的，不加定义的，而所有以后的概念和性质都以精确的定义和逻辑论证的方法，从原始概念导出。这种建立科学学科的过程就是公理化。
数学的公理化本质上反映了数学的内部组织形式，数学公理化发展经历了实质公理系统的第一阶段，形式公理系统的第二阶段，才完成了数学内部组织精确化、完善化的过程。
决定数学理论体系最原始的真值保证，即决定那些不加证明的数学公理的真值性的保证，只能是数学家们亲身工作的实践。（18）
2.3数学活动的探索性特征
1.数学高度抽象性、确定性和广泛应用性方面的特点，是数学具有区别于其他科学的独特的特点。（19）
2.数学的探索性特征就是指，在数学活动中要运用一般科学的探索方法：观察、实验、想像、直觉、猜测、验证、反驳。
3.数学活动有三类：数学研究活动，就是数学发现发明的过程；数学认知活动，即数学学习活动，这是一个再创造的过程；数学实践活动，即用数学解决问题的创造性过程。
4.数学活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想的阶段，这个阶段就是数学探索活动阶段。
5.数学探索性表明了探索活动阶段的不确定性。正是这种不确定性，体现了数学活动的创造性。（19）
6.数学教学中教师把对数运算性质的发现过程作为重点，就把课本上缺失的探索过程弥补出来，也就是常说的“还原数学创造的本来面目”。（21）（这是一个十分典型的数学探索活动，这种情况的创设正是教师创造力
7.所谓数学的探索性活动，就是对数学问题，人们根据自己的经验和知识，运用实验、观察、想像、直觉、猜测、验证和反驳的方法，寻求一种可能性结论的活动。（21） 8.数学探索性活动的基本特点有：其一，不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法；其二，可以获得发现发明的内容；其三，可以寻找解决问题的思路；其四，可以预测可能性结论的正确程度，对其作出合理的修正；其五，其结果只具有“可能性”，必须通过严格的论证才是可靠的、最终的结论。（21） 9.数学探索性活动的意义在于，它是数学发现发明的方法，是每个人将来进行创造性
工作必须应用的方法。（22）
10.数学探索性活动的关键是提出猜想。（22）验证是数学探索活动不可缺少的环节。（22）
11.数学探索性活动需要丰富的想象力。数学活动中想象包括几何想象，类几何想象，数觉想像，心理图像几个层次。
12.数学直觉一般是指：对于数学对象事物的结构及其关系的某种直接领悟或者洞察。（22）
数学直觉不包括普通逻辑推理过程，具有非逻辑性、自发性的特点，包含合情推理形式的直接领悟，属于非逻辑的思想活动范畴。（22）
13.数学直觉的作用至少有两个：辨识性作用和关联性作用。（22）（在数学研究中，或在数学解题中，人们常常要面对几种可能的思路。这时常常是直觉在极短的时间迅速识别，作出抉择。在数学活动中，在原来认为不相同或不相关的几个事物之间，直接察觉到他们的联系或者统一性，从而为猜测提供了依据。）
14.在数学解题过程中，不少解决问题的方法和途径是通过直觉的关联性作用而发现。（22）
2.4数学的广泛应用性特征
1.数学提供了特有的思维训练。（23）中小学的数学课是教你思考。（23）
2.数学所提供的特有的思维训练有：数学化、抽象化、最优化、符号化、随机化、逻辑分析。（23）
3.数学提供了科学的表达语言。（23）（数学语言是各种科学的通用语言；数学语言是世界各国家各民族的通用语言。）
4.数学对人人类的思维训练所具有的价值，是数学应用的最大体现。（24） 5.数学提供了抽象思维的模式。（为解决实际的和科学理论在非数学问题提供了抽象思维在模式。这类抽象思维的模式包括：为非数学问题转化为数学问题提供了具体