4.数学活动的三个层次具有内在联系性。（66）（前一层次是后一层次的基础，后一层次是前一层次的发展，呈现出螺旋递进的特征。数学活动的层次性也是个体数学活动经验水平的一种标志，即数学活动的各个层次都有其相应的数学活动经验水平。上述三个层次就明显地呈现由感性到理性、由低级到高级的数学活动经验水平。） 5.将数学活动分成几个层次具有明显的优越性，（简答题）将抽象的数学活动具体化，突出了数学活动的过程性，使得数学教学中的数学活动具有明显的可操作性。（66） 如果从数学学习的建构主义理论出发，分层次认识数学活动则有助于设计数学建构学习。（66）（因为由简单到复杂的分层次数学活动恰恰是数学建构活动的基本方式。对新的数学知识的理解是借助已有的数学经验和知识，超越所提供的新数学知识而建构的。也就是说，较高层次数学知识的建构是以较低层次数学知识为基础的。） 6.数学活动发生的逻辑必要条件：（67）第一、引起学生学习的心向(是否引起了学生学习的心向是判断数学活动是否发生的一个重要标志)；第二，数学活动内容的潜在逻辑性（教学中数学新知识的呈现要以学习者的认知结构中是否有适当的知识可与之建立非人为和实质性的联系为依据，这是有意义学习的基本条件。）；第三，数学活动要以学生的已有学习为基础；第四，学生要具备参与数学活动的思维潜能（具备相应的思维潜能，是数学有意义学习的基本条件）。
7.数学教学除了具有抽象性、严谨性、探索性和广泛性外，还具有其他基本特点，：第一，数学教学高度强调学生智力参与和独立思考（数学的抽象性和严谨性决定了数学是以理性思维为主的科学，思维活动是数学活动的基本形式）；第二，数学教学要把握大观点和核心概念；第三，数学教学应该是一种科学探究活动；第四，数学教学离不开数学解题；第五，数学教学必须重视过程知识。（67）
8.数学学习表现为一种内隐的理性思维过程，属于头脑里的暗箱操作，本质上是一种思想实验。数学有效的数学教学活动应重在使学生亲历知识的发生、发展过程，体验数学的思考方式，从而获得相关的过程知识。（70）
5.1.2数学教学过程
1.数学教学过程是数学教师组织和引导学生系统地学习和掌握数学知识，进行积极的思维活动，形成良好的认识与发展相统一的育人过程。
2.数学教学过程的实质体现在三个方面：从结构上看，它是一个以教师、学生、教学内容、教学方法等为基本要素的多维结构；从性质上讲，它是一个有目的、有计划、的多边活动过程；从功能上讲，它又是一个教师引导下的学生主动探究、发现、建构数学知识，发展数学能力，促进情感、态度、价值观等各方面素质全面发展的育人过程。（70）
3.数学教学过程中最基本的因素是：教师、学生、教学内容、教学方法。
教师是教学向导的主角；学生是学的活动的主体；教学内容是师生活动的载体；教学方法是指引教学过程展开的行动方式。（70）
4.数学教学过程展开的基本规律需要从“教什么”、“怎么教”、“教学结果如何”等三个方面来考察。（71）
教师作为教学的引导着，就是要求一定要把学生放在探究的位置上，让他自己去探究，自己去发现，他必须成为主动的学习者。（72）
5.教师通过启发给学生以必要的暗示，学生通过自己的思维活动获得暗示。
数学中启发教学的方法主要有三种：一是设计问题情境；二是设计动态的直观图形启发学生；三是运用“元认知提示语”发问（P125） 6.数学教学的结果是构建良好的认知结构（72）
5.2数学教学原则）
1.数学教学原则是指导数学教学的一般性原则，是进行数学教学活动应遵循的原则。
数学教学原则是根据数学教育的目标，数学学科的特点，学生学数学的心理特征以及数学教学的实践经验等概括而成的。数学教学原则包括两类：数学教学的一般原则和数学教学的特殊原则。（73）
5.2.1数学教学的一般原则
1.数学教学的一般原则：（1）主动性原则；（2）发展性原则；（3）启发性原则；（4）理论联系实际的原则。（73）
（1）主动性是教学的普遍原则。它要求学习者必须积极主动地参与数学活动，在“做数学中学数学”，也就是说数学教学必须遵循主动性原则。
主动性原则的基本标志是独立思考和智力参与。（73）
在教学中突出主动性原则的途径主要有两个：一是注重培养学生主动探究的意识（要充分将学生置身于探究的情境中，注意激发学生主动参与的兴趣和动力。）；二是在主动学习的方法上多加引导（通过介绍、讨论、对比思考的角度和方法，提高学生独立思考和智力参与的经验和质量）。（73）
（2）发展性原则。从数学教学的角度看，以可持续发展为特征的发展性原则主要体现在以下几点：第一，使学生充满主动学习的热情；第二，是学生学会学习；第三，发展学生的认识力。（73）
（3）启发性原则。（教师作为教学向导的主角，其引导作用主要是通过启发来实现的，而学生作为主动的探究者，也离不开教师适时的启发引导。）启发性原则是数学教学基本指导思想。（74）
启发性原则最基本的要求，就是教师要站在学生的角度，从学生的知识水平、思维水平、经验水平出发，提出适当的问题，设置合理的问题情境，去引导学生思考，使学生的思维向着新知识或问题的目标靠拢，最后达到目标。（74）
教学中的启发有两种基本的方式，即“愤悱术”和“产婆术”。两种方式都强调通过教师的向导作用来引导学生主动积极地学习，但两种方式又有很大的差异。（74） “愤悱术”是我国古代教育家孔子的启发式教育思想。他主张“不愤不启，不悱不发”。（选择题）
“愤”是学生发愤学习，积极思考，想搞明白而没有搞明白的心理状态。
“启”是教师去引导他们解除疑团，把问题搞明白。 “悱”是经过思考想要表达而又表达不出来的窘境。（74） “发”教师去指导学生把事情表达出来。
“愤悱术”的最大特点在于把握启发的时机。（见P74）
2.“产婆术”是古希腊学者苏格拉底提出的启发式教育思想。（选择题）其基本要义是教师凭借正确的连环提问，刺激、诱导、调控学生的思考，引导学习者沿着教师所希望的方向，通过自身的思考，亲自去发现真理。苏格拉底把“产婆术”又称为“问答术”、“对话术”
“产婆术”启发式的基本展开方式是：“问—答—问—答”。
“产婆术”的最大特点在于把握发问的技术。（是非题）（见P75）这种启发的方式在数学教学中使用比较普遍。（毕竟数学中的很多问题不是学生自己所能够提出来的，很多数学方法也不是学生自己所能完全独立发现的，对学生而言，数学中多数问题的提出和方法的发现，离不开教师的这种发问式的暗示和启迪。）
3. 愤悱术更注重学生的独立思考和自由探究，强调关键处的适当点拨，比较难以把握；产婆术偏重于教师的发问设计和引导，关注学生思考问题的自然性、合理性，在实际教学中比较便于把握。
4.贯彻启发性原则时，有一种“时间等待”理论。“时间等待”理论是启发性原则的一种极好体现，它可以大大克服教师越俎代庖，代替学生思考的现象。（75） 5.理论联系实际的原则
（1）抽象数学知识的产生过程离不开生活中的普通常识或者由生活常识发展而来的数学常识。（75）因此，数学教学应遵循理论联系实际的原则，尽可能地从学生已有的生活经验出发，注意突出某些数学对象的实际背景，培养学生用数学的意识，使抽象的理论化数学与现实原型紧密结合起来。
（2）理论联系实际的原则。第一，使学生适时借助已有的生活经验理解数学；第二，
突出某些数学对象的实际背景；第三，加强数学实际应用的教学；第四，防止理论联系实际的庸俗化。（75）
5.2.2数学教学的特殊原则
1.数学教学的特殊原则。1.“把握数学抽象性的淡化”的原则；2.“摆脱教学严谨性的束缚”的原则；3.“突出策略创造精神”的原则；4.“加强数学语言训练”的原则。（76） （1）数学教育中如何“把握数学抽象性的淡化”。 第一，坚持循环渐进，逐步深入； 第二，强调从特殊到一般，从具体到抽象；第三，克服急于求成，急功近利的思想；第四，处理数学抽象性要有全局观念。（77）
（2）数学教学中如何把握“摆脱教学严谨性的束缚”的原则。（78）第一，数学知识的发生是逐步走向严格的。第二，多数学生无需掌握逻辑十分严谨的数学理论。第三，非形式演绎的数学也是数学。
第四，摆脱严谨性的束缚不等于不要数学 的严谨性。
“摆脱数学严谨性的束缚”原则，是针对过分追求数学严谨性所带来的弊端而言的，其真正的含义则应该是重视数学严谨性，又不被数学严谨性所束缚。（79）
（3）“策略创造”是根据数学的探索性特征提出来的，是波利亚推崇“合情推理”。（80）
数学教学中如何“突出策略创造精神”的原则。第一，将教材还原为数学的创造性思想活动。
第二，加强数学基本思想方法的教学。
（4）.加强数学语言训练，主要包括两个方面的内容：一个是提高对数学语言符号的阅读、理解、转换和运用的能力；另一个是提高将日常语言理解、抽象和转化为数学语言的能力。（80）
让学生学习数学化，就是让他们如何将非数学问题转化为数学问题，即根据客观现实形成数学概念，用数学语言改造成纯数学的问题，并构造数学模型来解决问题。这就不仅要求学生运用数学语言，还要求学生阅读用普通语言描述的具体材料，