（1）.明确概念的内涵（数学概念意义的描述有自身的特点，首先它总是在已有概念的基础上，经由弱抽象形成，或者经由强抽象形成，或者经由理想抽象形成，其间所涉及对象的相互关系都是纯粹数学意义上的；其次，数学的概念总是用数学自身的语言描述，数学的语言不仅符号化，而且精确简练，往往一字不多一字不少。数学概念的这种表述特点也导致了对其理解的困难，这要求教师引导和帮助学生建构概念意义的时候，力求使学生对概念的本质特征，即概念的内涵概括准确。）（101）
明确概念的内涵就是要，第一，明确包含在定义中关键词语的意义。第二，对概念中的有些词语作必要的概括。（102）
（2）.明确概念的外延：第一，概念的例子和概念属性的例子。教学中使学生了解概念外延的通常方法，是举出符合概念意义的例子。（能举出概念属性的例子，说明不但明确了概念的外延，而且说明能用概念的本质属性去检验例子，这是达到了概念学习的水平）。（102）
第二，构建概念体系，数学学习的一项重要工作，是要把所获得的概念及时地纳入到概念体系中去，从而明确概念与其他概念之间的关系。
3.注重概念的符号：用符号表示概念，是数学的特点，也是数学的优点，这使得数学思想材料形式化。概念本身就是抽象的，而符号又成为概念的外在形式和代表，从这个意义上讲符号更抽象。因此概念教学中，要防止两个脱节：一是概念与实际对象脱节；二是概念与符号脱节。
(1).从函数概念与函数符号看（103）：函数概念是中学数学的核心概念，函数的思想贯穿整个中学数学的内容，同时函数概念也是中学数学中最难理解和把握的，因而函数概念的地位在中学数学里的重要性就不言而喻。
(2).从几何概念看（104）：在几何中，除注意概念的符号外，还要注意概念的图形，主要是排除标准图形对正确掌握概念的影响。
(3).从数学符号的意义看：数学中，符号的意义是发展的，变化的。
4.数学概念教学的基本方式：数学概念教学的两种基本方式——概念形成的方式和概念同化的方式。
5.数学概念获得的方式（104）：数学概念获得的过程实质上是理解和掌握某一类数学对象共同的关键属性的过程，其基本方式是概念的形成和概念的同化。
(1)概念形成（105）：概念的形成一般是针对由弱抽象形成的概念。概念形成这一过程主要涉及以下相关因素。第一，感知、辨别各种刺激模式。第二，抽象出各个刺激模式的共同属性，并提出假设。第三，在特定的情境中修正、检验假设，形成概念。第四，把新概念一般化，并用数学的语言符号表达。
(2)概念同化（106）：概念的同化一般是针对由强抽象形成的概念的方式就叫做概念同化。
从概念同化的学习过程可以看出，当新概念展现出来后，学生并不是消极被动的接受它们，而是利用已有的知识作为“固着点”，积极主动地对新概念进行意义建构。
美国教育心理学家奥苏伯尔对概念同化的要点及过程描述如下：首先，新概念必须具有逻辑意义，即能够使学习者建立起非人为和实质性的联系；再次，学习者要积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与其认知结构中的有关观念发生相互作用，通过加工、改造和整合，在心理上获得新概念的实际意义，使新概念归属于新认知结构，同时使原认知结构得到分化和扩充。
（3）.概念同化和形成的区别：概念同化主要是从抽象定义出发，以演绎的思维方式理解和掌握概念；而概念形成则主要是从大量的实例和学习者的实际经验出发，以归纳的思维方式获得概念。（106）概念形成的学习方式需要学生对具体的、直接的感性材料进行观察、感知、操作等活动，比较耗费时间、学习效率难以保障；而概念同化的学习方式则容易使学生对一些本来就抽象、晦涩难懂的数学概念流于浅层次的表面理解，需要借助一些直观、感性的材料帮助学生把握概念背后的丰富内容。
6.3.2概念形成教学方式
运用概念形成教学方式的数学教学中应处理好以下几个环节：1.设计适于概念形成的学习情境；2.留给学生自主活动的空间；3.发挥教师语言的中介作用。（107）。 （1）概念形成的学习情境的具体的设计应从两个方面来考虑：一方面要充分了解学生的认知水平和心理发展特点。（注意选择那些刺激强度适当、新颖有趣的实例或活动作为刺激模式，激发学生主动观察、操作、归纳，展开积极的思考、探究活动）；另一方面要深入钻研教材（对概念的背景知识、形成过程和基本特征细致把握，基于此提供的概念形成的学习情境才能真正吸引学生，获得良好的效果。）（107） （2）留给学生自主活动的空间，是因为概念形成的过程需要学生自己探索，教学中应当给学生充分的自主活动的空间，使学生有机会经历概念产生的过程，了解概念产生的背景、条件，感悟概念的本质特征。（防止出现一味追求教学进度和容量或担心学生探索无效，而是学生的自主活动流于形式。）（107）
（3）在学生形成概念的过程中，教师的语言发挥重要的作用。这一作用主要体现在两个方面：其一，在学生遇到障碍时，教师的提示和引导语能够指引探索活动的方向，使学生有的放矢地归纳、概括概念的本质属性；其二，学生通过观察、实验、归纳、猜想等活动所形成的概念往往比较粗糙、不规范甚至肤浅的，需要进一步地精炼、升华，形成科学化的数学概念，这就要教师语言的启示和示范作用，使学生意识到修正概念的必要性和如何用精确的语言概括自己的研究成果。（107）
6.3.3概念同化教学方式（108）
1.根据概念同化学习特点，运用“概念同化教学方式”的数学教学中应处理好以下几个环节：1.突出概念的关键特征；2.呈现正例与反例；3.在应用中强化对概念的理解。
6.4数学活动中进行概念教学
1.数学概念学习是数学学习的核心之一。在数学概念教学中，应树立立体式的数学概念教学观。（109）
6.4.1把学生带回到现实中去
1.在教学中应通过创设情境，唤起学生的兴趣，使他们身处现实问题情境中，通过亲身体验，在感性认识的基础上，借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识性材料进行精微化加工，使自发性概念逐步摆脱无意识、粗糙、肤浅的劣势，向科学概念发展，达到理性认识的层次，从中体验数学是从人类的社会实践中总结、创造出来的关于客观世界的数量关系与空间形式的科学。（109）
6.4.2把学生带入问题中
1．“问题是数学活动的心脏”。丰富学生在概念学习过程中的体验，重要的一个方面是将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有生活意义的问题，形成问题情境，从而把学生带入问题中，在问题的探究中“学数学、做数学、用数学”，构建概念的心理表征。（110）
2.若把学生带入问题中，就应该把概念的生成过程问题化、把形式化材料转化为可探究的问题。（110）
（1）（一个概念是如何引进的？必要性和重要性何在？）一个概念生成过程中的诸多问题，往往也是区分概念的本质特征与非本质特征的关键所在。因此，教学中应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题，真正使有关材料成为学生的思考对象，使概念学习变为学生的内在需求。（110）
（2）形式化的材料不利于学生理解和运用，要通过转化变为蕴含概念本质特征，贴近学生生活、适合学生探究的情境问题。（110）
6.4.3注重概念的数学化过程
1.数学概念的形成过程是一个数学化的过程。（111）（即通过对常识材料进行细致的观察、思考、借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行去粗取精、去伪存真的精加工，从中舍弃材料的现实意义，仅保留其数量上或空间上的形式结构方面的信息，由“素朴的直观”构建“精致的直观”）
2.概念是学生学习数学化的很好素材，通过体验概念的数学化过程能更好地把握概念的本质的和非本质的特征，建构良好的知识结构。
（1）把概念学习作为“学数学、做数学、用数学”的过程，应积极引导学生独立自主地开展思维活动，融会贯通地掌握知识、发展能力，逐步形成用数学的意识。（111） （2）创设情境，并非仅仅是举几个实例，重要的是如何把学生带入问题情境中，促使学生数学地看待现实问题，激发学生的问题意识。在概念学习过程中学习数学化，重在意义建构，重在数学化过程。
3.在概念教学中“学数学、做数学、用数学”，应“淡化形式，注重实质”，寓概念本质属性与知识的发生、发展过程之中，使学生在探究中体会数学的意义，把握概念的本质。（112）
6.5数学概念教学反思
1.涉及到数学概念的形成过程、意象表征、二重性、理解及理解的阶段性等方面。 2.检讨问题主要包括有：1.重形式定义，轻意象表征；2.重概念的语义分析，轻概念的形成过程；3.停留在单一概念的层面上；4.对数学概念的二重性认识不足；5.缺少概念理解的层次观；6.数学概念教学的其他问题。（112）
第七章 数学解题的教学
1.学数学，就要解数学题。数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义。
2.数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会数学地思维。（118）
§7.1数学解题学习是有意义学习
1.解决数学问题的学习是寻求解决数学问题方法的一种心理活动，是一种高级形式的学习活动。（118）
数学的解题活动主要是利用认知结构对抽象的形式化思维材料进行加工的过