n?k?0sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?sin((n?1)d)sin(x?nd)sind
tan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?
组三 三角函数不等式
sinx＜x＜tan??x,x?(0,?2)
f(x)?sinxx在(0,?)上是减函数
若A?B?C，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC
高考复习科目：数学 高中数学总复习（五）
复习内容：高中数学第五章-平面向量
复习范围：第五章
1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.
注意：①若a,b为单位向量，则a?b. （?） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.
???②若a?b，则a??∥b. ?????（√）
???????2. ①???a?=????a ②?????a??a??a ③??a?b???a??b
④设a??x1,y1?,b??x2,y2?,??R a?b??x1?x2,y1?y2? a?b??x1?x2,y1?y2?
?a???x1,?y2? a?b?x1x2?y1y2 a?????x1?y122????（向量的模，针对向量坐标求模）
??????⑤平面向量的数量积：a?b⑧?a?b??c?a?c?b?c
??????????a?bcos? ⑥a?b?b?a ⑦??a??b???a?b??a???b?
????注意：①???????a?b?c?a?b?c???????不一定成立；a?b?b?c??a?c.
②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小. ③长度为0???0?0.
?的向量叫零向量，记0?，0?与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且
④若有一个三角形ABC，则⑤若ma??⑥a·a???na0；此结论可推广到n边形.
?（m,n?R），则有m?n. （?） 当a等于0时，ma?na?0，而m,n不一定相等.
?2a??????=|a|2，|a|=
????（针对向量非坐标求模），|a?b|≤|a|?|b|.
?，这是因为任一与a??⑦当a?0????时，由a?b?0不能推出b?0?垂直的非零向量b??，都有a·b=0.
⑧若a∥b，b∥c，则a∥c（×）当b等于0时，不成立.
3. ①向量b与非零向量使得b??a（平行向量或共线向量）. ．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数?，当??0,a与b共线同向：当??0,a与b共线反向；当
b则为0,0与任何向量共线.
????
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注意：若a,b共线，则a??b （×）
若c是a的投影，夹角为?，则cos??a?c，cos??a?c （√） ②设a=?x1,y1?，b??x2,y2?
?a?a??∥b?x1y2?x2y1?0?a??b?a?b?a?b
?⊥b?a?b?0?x1x2?y2y1?0
?③设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则A、B、C三点共线?（x2?x1,y2?y1）=?（x3?x1,y3?y1）（??0）
·（y3?y1）=（x3?x1）·（y2?y1） ?（x2?x1）
?∥
?=?（??0）
④两个向量a、b的夹角公式：
cos??2x1??x1x2?y1y2?2y1
2y2?2x2?⑤线段的定比分点公式：（?设
?0和?1）
y1）,(x,y),(x2,y2)BMAP??1P1P=?PP2（或P2P=PP1），且P1,P,P2的坐标分别是（x1,??1时，得线段P1P2
推广1：当? 推广2：AMMB的中点公式：
y?y2?y?1??2??x?x1?x2?2?y??y2?y?1??1??，则 x??x?2?x?1?1?????则PM?PA??PB1??（?对应终点向量）.
三角形重心坐标公式：△ABC的顶点
注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件. ⑥平移公式：若点
?P?x,y?按向量ax?x2?x3?x?1??3A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标G??x,y?：
?y?y1?y2?y3?3?=?h,k?平移到P?x,y‘''?'??x?x?h，则?'??y?y?k
absinBcsinC4. ?正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则
?a2?b2?c2?2bccosA???余弦定理：?b2?a2?c2?2accosB?222c?b?a?2abcosC??tan?tanA?B2A?B2sinA???2R.
?正切定理：a?ba?b
?三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
P?P?a??P?b??P?c?
[海伦公式]
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1图⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
A如图： 图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr
Acb A 图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）
cDFbBaECcra DI ra F b O A
BaECraraICaB E F
图2 图3 附：三角形的五个“心”； C BN重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
?已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
a?b?c2]
则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=a?b?c（如图3）.
2?aba?b?c?在△ABC中，有下列等式成立tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC.
证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以
tanA?tanB，
1?tanAtanB??tanC?结论！2?在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD2?AC2BD?ABBCABC?BD?DC.
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?① 222在△ABC中，由余弦定理有cosB?AB?BC?AC2AB?BC?②，②代入①，化简
2B可得，DCAD2?ACBD?AB2BCBC?BD?DC（斯德瓦定理）
图5①若AD是BC上的中线，m?12c2a22b2??a2；
②若AD是∠A的平分线，ta?2b?cbc?p?p?a?，其中p为半周长； ③若AD是BC上的高，h2a?ap?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.
?△ABC的判定：
c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?
2c2＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜
?2
- 13 -
4
图 c2＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞
?a?b?c2ab222?2
附：证明：cosC，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2
?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b?a?b?2(a?b)
2222§6. 不 等 式 知识要点
1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
a?b222?a?b2?ab?21a?2（当a = b时取等）
1b222特别地，ab?(a?b?c3222a?b2)?2a?b22（当a = b时，(a?b2)?2a?b2?ab）
?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等)
3??222?幂平均不等式：a1?a2?...?an?1n(a1?a2?...?an)
2?含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： ①a3?b3?a2b?ab2
②a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?ac?bc)
333222?a?b?c?3abc（a?b?c?0等式即可成立a?b?c3133333，a?b?c或a?b?c?0时取等）；
333abc?a?b?c?3a?b?c?abc?????33??
ab?ba?ac?(a??b?c)（a2?b?c时取等）
?绝对值不等式：
a1?a2?a3?a1?a2?a3a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)
?算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：
a1?a2???ann?na1a2?an（a1=a2…=an时取等）
?柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则
(a1b1?a2b2???anbn)?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)
2222222等号成立当且仅当
a1b12?a2b22???anbn2时成立.（约定ai?0时，bi?0）
例如：(ac?bd)?
常
用
不
?(a?b)(c?d).
式
的
放
缩
法
：
①- 14 -
22等
1n?1n?1?1n(n?1)?1n2?1n(n?1)?1n?1?1n(n?2)
②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)
2. 常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?122?2x(1?x)(1?x)?221234 ()?23272②y?x(1?x)?y2?2x(1?x)(1?x)22?123423 ()??y?23279类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx) ③|x?1x|?|x|?|1x|(x与1x同号，故取等)?2
2§7. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????). 注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：?axyb?1.
x轴平行或重
注：若y??23x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??23x?2，但若y??23x?2(x?0)则不是这条线.
附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行：
l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.
因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2）
推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ?两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ② l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件）4. 直线的交角：
?直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，
?它的范围是(0,?)，当??90时tan??k2?k11?k1k2.
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