3数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C7?12600.
五、二项式定理.
0n01n?1rn?rrn0n1. ?二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.
展开式具有以下特点： ① ② ③
项数：共有n?1项；
012rn系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn;
每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.
?二项展开式的通项.
n（a?b)展开式中的第r?1项为：Trn?rrbr?1?Cna(0?r?n,r?Z).
?二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．I. 当n是偶数时，中间项是第
n2n?1项，它的二项式系数Cn?122n最大；
n?1n?12n2n?CII. 当n是奇数时，中间项为两项，即第③系数和：
Cn?Cn???Cn?202401nn13n?1项和第
n?12?1项，它们的二项式系数C最大.
Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2附：一般来说(ax?by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当a?1或b?1时，．．．．．．．．．．．
一般采用解不等式组??Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1?Ak?Ak?1或?(Ak为TA?Ak?1?kk?1的系数或系数的绝对值）的办法来求解.
?如何来求(a?b?c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把(a?b?c)n?[(a?b)?c]nrn?rrn?rqn?r?qqqpq视为二项式，先找出含有Cr的项Cn中含有bq的项为Cn?r(a?b)C，另一方面在(a?b)ab?Cn?rab，
故
CnCr在
qn?r(a?b?c)n!n中含
?n!abcppqr的
qrn?pCr项为
CnCn?rabcrqpqr.其系数为
?r!(n?r)!q!(n?r?q)!?(n?r)!r!q!p!?CnC.
2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1?a)?1?na，因为这时展开式的后面部分
Cna?Cna???Cna很小，可以忽略不计。类似地，有(1?a)?1?na但使用这两个公式时应注意a的条件，以及
2233nnnn对计算精确度的要求.
高考复习科目：数学 高中数学总复习(十一)
复习内容：高中数学第十一章-概率 第十二章-概率与统计
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复习范围：第十一章、第十二章
I. 基础知识要点 一、概率.
1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是
1n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)?mn.
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An). ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑．．．．．．．．．．．．．．．桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.
注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)?P(A)?P(A?A)?1. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但
P(A)?452?113252互斥对立,P(B)?1262652?12,P(A)?P(B)?126.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”
有P(A?B)??，因此有P(A)?P(B)?P(A?B).
推广：若事件A1,A2,?,An相互独立，则P(A1?A2?An)?P(A1)?P(A2)?P(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：
Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k.
4. 对任何两个事件都有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B) 二、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则??a??b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(?)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,?
ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
? x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … P 有性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.
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注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ?二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
P(ξ?k)?Cnpqkkn?k[其中k?0,1,?,n,q?1?p]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n·p），其中n，p为参数，
kn?k并记Ck?b(k;n?p). npq?二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(A)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：kP(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qk?1p(k?1,2,3,?)于是得到随机变量ξ的概率分布列.
? 1 q 2 qp 3 qp 2… … k?1,2,3?
k qk?1… pP … 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.5. ?超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1?n?N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξ?k)?CM?CN?MCnNkn?k?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件
正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
?超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为
P(ξ?k)?Ca?CCkn?kbna?bk?0,1,?,n..
?超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数?的分布列可如下求得：把a?b个产品编号，则抽取n次共有(a?b)个可能结果，等可能：(η?k)含Cnab结果，故P(η?k)?knkkn?k个
Cnabkkn?kn(a?b)?Cn(kaa?b)(1?kaa?b)n?k,k?0,1,2,?,n，即?～B(n?aa?b).[我们先为k个次品选定位置，
共Cn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ?k)?P(η?k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
? x1 p1 x2 p2 xi pi … … … … P 则称E??x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
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2. ?随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b ①当a?0时，E(b)?b，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当a?1时，E(??b)?E??b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b?0时，E(a?)?aE?，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ?单点分布：E??c?1?c其分布列为：P(??1)?c. ?两点分布：E??0?q?1?p?p，其分布列为：（p + q = 1） ?二项分布：E??ξ P 0 q 1 p ?1pk?n!k!(n?k)!p?qkn?k?np 其分布列为?～
B(n,p).（P为发生?的概率）
?几何分布：E?? 其分布列为?～q(k,p).（P为发生?的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(??xk)?pk(k?1,2,?)时，则称
D??(x1?E?)p1?(x2?E?)p2???(xn?E?)pn??222为ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??为ξ的根方差或标准差.随
机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质.
?随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)?a2D?.（a、b均为常数） ?单点分布：D??0 其分布列为P(??1)?p ?两点分布：D??pq 其分布列为：（p + q = 1） ?二项分布：D??npq ?几何分布：D??qp2ξ P 0 q 1 p
5. 期望与方差的关系.
?如果E?和E?都存在，则E(???)?E??E?
?设ξ和?是互相独立的两个随机变量，则E(??)?E??E?,D(???)?D??D? ?期望与方差的转化：D??E??(E?)22 ?E(??E?)?E(?)?E(E?)（因为E?为一常数）?E??E??0.
四、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x?(??,??)” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
ab(x??)2?22▲yy=f(x)x2. ?正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12???e. （x?R,?,?为常数，且??0），
称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?)表示.f(x)的表达式可简记为N(?,?)，它的密度曲线简称为正态曲线.
?正态分布的期望与方差：若?～N(?,?)，则ξ的期望与方差分别为：E???,D???. ?正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.
③当x??时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
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2222④当x＜?时，曲线上升；当x＞?时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当?一定时，曲线的形状由?确定，?越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
12??x23. ?标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为?(x)?e2则称(???x???)，
▲ySξ服从标准正态分布. 即?～N(0,1)有?(x)?P(??x)，?(x)?1??(?x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(a???b)??(b)??(a).
注意：当标准正态分布的?(x)的X取0时，有?(x)?0.5当?(x)的X取大于0的数时，有?(x)?0.5.比如?(0.5??)?0.0793?0.5则
0.5??a标准正态分布曲线x??必然小于0，如图.
S阴=0.5Sa=0.5+S?正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N(?,?2)则ξ的分布函数通 常用F(x)表示，且有P(ξ?x)?F(x)??(4.?“3?”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布
2确定一次试验中的取值a是否落入范围(??3?,??3?).③做出判断：如果a?(??3?,??3?)，接受统计假N(?,?).②
x?μσ).
设. 如果a?(??3?,??3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
?“3?”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(?,?2)则 ξ落在(??3?,??3?)内的概率为99.7％ 亦即落在
(??3?,??3?)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态
分布）.
§12. 极 限 知识要点
1. ?第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，结论正确，证明当n?k?1时，结论成立.
?第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①当n?n0（n0?N?）时，P(n)成立；
?②假设当n?k（k?N,k?n0）时，P(n)成立，推得n?k?1时，P(n)也成立.
那么，根据①②对一切自然数n?n0时，P(n)都成立. 2. ?数列极限的表示方法： ①liman?a
n??②当n??时，an?a. ?几个常用极限：
①limC?C（C为常数）
n??②limn??1nk?0(k?N,k是常数)
③对于任意实常数，
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