?两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是?0,?????21，当??90?，则有tan??. ?2?1?k1k2k?k5. 过两直线??l1:A1x?B1y?C1?0?l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?为参数，
A2x?B2y?C2?0不包括在内）
6. 点到直线的距离：
?点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?CA?B22.
?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为d，则有d?C1?C222.
A?B7. 关于点对称和关于某直线对称：
?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（y??x?b）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程.
1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)?0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反过来，满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)?(y?b)?r. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x?y?r.
注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x?a)?(y?b)?b [r?b,圆心(a,b)或(a,?b)] ②与y轴相切的圆方程(x?a)?(y?b)?a [r?a,圆心(a,b)或(?a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)?(y?a)?a [r?a,圆心(?a,?a)] 3. 圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0 .
22222222222222222
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E??D,?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C???，半径r?22??22D?E?4F222.
当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点????D2,?E??. 2?当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.
?x?a?rcos?注：①圆的参数方程：?（?为参数）.
?y?b?rsin?②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.
③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.
222①M在圆C内?(x0?a)?(y0?b)?r
②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)；
Aa?Bb?CA?B22 圆心C(a,b)到直线l的距离d?.
①d?r时，l与C相切；
22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相切，则??相减为公切线方程.
22?x?y?Dx?Ey?F?0222?②d?r时，l与C相交；
附：公共弦方程：设 C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0
C2:x?y?D2x?E2y?F2?022有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. ③d?r时，l与C相离.
22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为圆心O1O2的连线的中与线方程. 附：若两圆相离，则?22?x?y?Dx?Ey?F?0222?222??(x?a)?(y?b)?r 由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为?，则：
?Ax?Bx?C?0???0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.
注：若两圆为同心圆则x?y?D1x?E1y?F1?0，x?y?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线.
2222
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6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx?1?k2r过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0 上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x02?Ey?y02?F?0.
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程
A为x0x?y0y?r.
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??2R?1?2BCD(a,b)7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程
x?y?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②
222R?(xA?a)?(yA?b)422…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.
高考复习科目：数学 高中数学总复习（八）
复习内容：高中数学第八章-圆锥曲线方程 复习范围：第八章
I. 基础知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PFPFPF111?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段
?①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa22?yb22?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：
ya22?xb22?1(a?b?0).
②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：
22xa22?yb22?x?acos??1的参数方程为?（一象限?应
y?bsin??是属于0????2）.
?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或焦距：F1F(0,?c)(0,c).④i. 设P(x0,y0)为椭圆
xa222?2c,c?yb22a?b22.⑤准线：x??a2c2或y??a2c.⑥离心率：e?ca焦点半径： (0?e?1).⑦
?a?ex0???1(a?b?0)上的一点，F1,F为左、右焦点，则 PF1?a?ex0,PF2由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆
xb22?ya22?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则 PF1?a?ey0,PF2?a?ey0?由椭圆方程的第二定义可以推出. 由
椭
圆
第
二
定
义
可
知
：- 18 -
▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)NxN的轨迹是椭圆pF1?e(x0?a2c)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a2c?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d??共离心率的椭圆系的方程：椭圆
xa222ba22(?c,b2a)和(c,b2a)
22?yb22?1(a?b?0)的离心率是e?ca(c?方程a?b)，
xa22?yb22?t(t是大于
0的参数，a?b?0)的离心率也是e??若P是椭圆：
xa22ca 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan2?yb22?1上的点.F1,F?22（用余弦定理与
PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b?cot?2.
二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：
PFPFPF111?PF?PF?PF222?2a?F1F?2a?F1F?2a?F1F222方程为双曲线无轨迹以F1,F2的一个端点的一条射线
?①双曲线标准方程：
xa22?yb22?1(a,b?0),ya22?xb22?1(a,b?0). 一般方程：Ax?Cy?1(AC?0).
22?①i. 焦点在x轴上：
顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x??a2c 渐近线方程：
xa?yba2?0或
xa22?yb22?0
ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??ya22c. 渐近线方程：
ya?xb?0或
?xb22?x?asec??x?btan??0，参数方程：?或? .
?y?btan??y?asec?②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?⑤参数关系c?a?b,e?222ca?. ④准线距
yb222ac2（两准线的距离）；通径
2ba2.
ca. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
xa22?1（F1,F▲2分别为双曲线的左、右焦点或
▲分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：
M'yyMF1MxxMFMF12?ex0?a?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
M?F1??ex0?aM?F2??ex0?aF1F2M'F2（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
MFMF12?ey0?a?ey0?a0M?F1??eyM?F2???a?a
??ey0
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?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.
xa22xa22?yb22??与
?yb22???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
xa2222xa22?yb22?0.
22?共渐近线的双曲线系方程：
xa22?yb22??(??0)的渐近线方程为
xa?yb22?0如果双曲线的渐近线为
xa?yb?0时，
它的双曲线方程可设为?yb??(??0).
例如：若双曲线一条渐近线为y?解：令双曲线的方程为：
x2212x且过p(3,?12)，求双曲线的方程？
12x2▲y4?y??(??0)，代入(3,?)得
8?y2432?1.
F121x?直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
53F23小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“?”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ?若P在双曲线
xa2222?yb?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
PF1简证：
d1d2?ePFe2 =
mn.
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程.
3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y?2px▲2 y??2px2 ▲xy2?2py x??2py2 ▲y▲yyxOxOxOOx 焦点 F(p2,0) p2F(?p2p2,0) F(0,p2) F(0,?p2p2) 准线 x?? x? y??p2 y? 范围 对称轴
x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 - 20 -