OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1).
注：设四面体ABCD的三条棱，AB?b,AC?c,AD?d,其 中Q是△BCD的重心，则向量AQ?13(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证.
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a1b1?a2b2?a3b3a?b?a1b1?a2b2?a3b3
a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?21 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0
2a?a?a?a?a22?a23(用到常用的向量模与向量之间的转化：a?a?a?a?a1b1?a2b2?a3b3a?a)
??cos?a,b????a?b???|a|?|b|
?2b32a1?2a2?2a3?22b1?2b2②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)22.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量. （3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为
|AB?n||n|. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.
An▲BB??A▲n1CDEn2??C
II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
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②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1； ④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.
2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.
3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体. （在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有
①等腰四面体的体积可表示为V?13b?c?a2222B?c?a?b222222?a?b?c2222；
OD②等腰四面体的外接球半径可表示为R?24a?b?c2；
23AC③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为m?④h = 4r.
二、空间正余弦定理.
a?b?c222；
空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
高考复习科目：数学 高中数学总复习（九）
复习内容：高中数学第十章-排列组合 复习范围：第十章 一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：m种） 二、排列.
1. ?对排列定义的理解.
定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．．．．．．排列. ?相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示. ?排列数公式：
A?n(n?1)?(n?m?1)?mn
nmn!(n?m)!(m?n,n,m?N)
注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0! = 1
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An?1?An?Am?Cmmmm?1n?An?mAmm?1n10n Anm?nAnm?? 规定Cn?Cn?1 12. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于n?n!n1!n2!...nk!.
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n?(1?2)!?3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n?3!?1.
1!2!3!三、组合.
1. ?组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
m?组合数公式：Cm?An?n(n?1)?(n?m?1)nmAmm!Cn?mn!m!(n?m)!
mn?mm?1mm?两个公式：①Cn?Cn; ②Cn?Cn?Cn?1
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有
Cm?1n?C1?C1m?1n一类是不含红球的选法有Cm） n②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C
1mm中取出m个元素，所以共有Cn种，依分类原理有Cm?n?Cn?Cn?1.
mm?1n，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素
?排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式
Cn?Cn?Cn???n?2024012nn
135n?1Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2Cn?Cm?1?Cm?2?Cm?n?Cm?n?1kCn?nC1k?1Cn?kkk?1n?1mmmmm?1
1n?1Cn?1k?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：
12!?23!?34!??n(n?1)!?1?1(n?1)!（利用
n?1n!?1(n?1)!?1n!）
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用Cn?Cmm?1n?Cn?1递推）如：C3?C4?C5??Cn?Cn?1.
m333340212n2nvi. 构造二项式. 如：(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n
证明：这里构造二项式(x?1)(1?x)?(1?x)nn2n其中x的系数，左边为
n2nCn?Cn?Cn?C0n1n?1n?Cn?C2n?2n???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)n00212，而右边?C2n
n
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四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m?n)个元素必相邻的排列有
n?m?1mn?m?1mAn?m?1?Am个.其中An?m?1是一个“整体排列”，而Am则是“局部排列”.
22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An?An?1?A2. 1?12②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An?A2. n?12n?1③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An?An?1.
注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性. 2④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
?mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An，当n – m+1≥m, 即?An?m?1（插空法）n?mm≤n?1时有意义.
2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m?n)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个
AnmAmn元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Am.
Cnknnm⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
?Cn(k?1)n?CnnAkk.
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
C242!?3（平均分组就用不着管组与组之间的顺
序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?C18C21082）
C20/2!注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有
n?mmmAn?m?An?m?1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤
n?12时有意义.
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔
3板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C11.
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x1x2x3x4注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xin?1为求a的正整数解的个数为CA . ?n?1，有x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置
?r则有ArrAk. n?r例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
m?1m1m?1?1固定在某一位置上：Am；不在某一位置上：Am，一类是?An?1或An?1?Am?1?An?1（一类是不取出特殊元素a，有An?mnn?11取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列
rk?rkrCrCn?rAk；组合CrCk?rn?r.
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列Cn?rkAk；k组合Cn?kr.
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元
?sk?s素。先C后A策略，排列CrsCnk?；组合CrsCk. rAkn?rII. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Arr（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak. k2例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C102C84C4/A2?1575.若分成六组，各组人数分别为1、1、4242、2、2、2，其分法种数为C101C91C82C62C42C2/A2?A4 2②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?Am m2353例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10?C8?C5?A3种.
3若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C102C83C4?A3种 5m③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/Ar?Am. r244例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为C10C8C4?A3
32A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分
m尽，其分法种数为A?Cn1Cn-2m1…Cn-k(m1?m2?...?mk-1)
mm例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C102C83C5?2520若从10人中选出6人分成三组，各组人5
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