当|a|?1时，liman?0
n??当a?1时，若a = 1，则liman?1；若a??1，则liman?lim(?1)n不存在
n??n??n??当a?1时，liman不存在
n???数列极限的四则运算法则： 如果liman?a,limbb?b，那么
n??n??①lim(an?bn)?a?b
n??②lim(an?bn)?a?b
n??③limn??anbn?ab(b?0)
特别地，如果C是常数，那么
n??lim(C?an)?limC?liman?Ca.
n??n???数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q?1时，无穷等比数列的各项和为S?（化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限；
?当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?a或当x?x0时，f(x)?a.
x?x0a11?q(q?1).
注：当x?x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关，因为x?x0并不要求x?x0.（当然，f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?函数f(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条
x?x0件.） 如P(x)???x?1??x?1x?1x?1在x?1处无定义，但limP(x)存在，因为在x?1处左右极限均等于零.
x?1?函数极限的四则运算法则：
如果limf(x)?a,limg(x)?b，那么
x?x0x?x0①lim(f(x)?g(x))?a?b
x?x0②lim(f(x)?g(x))?a?b
x?x0③limx?x0f(x)g(x)?ab(b?0)
特别地，如果C是常数，那么
lim(C?f(x))?Climf(x).
x?x0x?x0
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lim[f(x)]x?x0nn?[limf(x)]（n?Nx?x0?）
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ?几个常用极限： ①limn??1x?0
②limax?0（0＜a＜1）；milx???axx????0（a＞1）
③limx?0sinxx1x?1?limx?0xsinx?1
1④lim(1?x??)x?e，lim(1?x)x?0x?e（e?2.71828183）
4. 函数的连续性：
?如果函数f（x），g（x）在某一点x?x0连续，那么函数f(x)?g(x),f(x)?g(x),续.
?函数f（x）在点x?x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x?x0处有定义；②limf(x)存在；③函数f（x）在点x?x0处的极限值等于该点的函数值，即
x?x0f(x)g(x)(g(x)?0)在点x?x0处都连
x?x0limf(x)?f(x0).
?函数f（x）在点x?x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x?x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点.
①f（x）在点x?x0处没有定义，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，但limf(x)?f(x0).
x?x0x?x0x?x05. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
?零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0.
?介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)?A,f(b)?B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C（a＜?＜b）.
?夹逼定理：设当0?|x?x0|??时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则必有limf(x)?A.
x?x0x?x0x?x0注：|x?x0|：表示以x0为的极限，则|x?x0|就无限趋近于零.（?为最小整数） 6. 几个常用极限：
n①limq?0,q?1 n???②limn???ann!nakn?0(a?0)
③limn????0(a?1,k为常数）
④limn???lnnn?0
k⑤limn???(lnn)n??0(??0,k为常数）
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§13. 导 数 知识要点
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值间的平均变化率；如果极限lim?x?0?y?x?f(x0??x)?f(x0)?x称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之
?y?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极
?y?x?lim?x?0'限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y|x?x0，即f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?x.
?x?0注：①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零.
②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
?函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.
于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]
x?x0?x?0?x?0?lim[?x?0f(x0??x)?f(x0)?x??x?f(x0)]?limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?lim?x?0?x?0?x?0f(x0)?f(x0)?0?f(x0)?f(x0).'?如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为
?y?x??1，故lim?x?0?y?x?|?x|?x，当?x＞0时，
?y?x?1；当?x＜0时，
?y?x不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线
y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f(x0)，切线方程为y?y0?f(x)(x?x0).
''4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)?u?v?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)(uv)?vu?vu?(cv)?cv?cv?cv（c为常数）
''''''''''
'''''''vu?vu?u?(v?0) ???2vv??u,v必须是可导函数. 注：①
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x)?2sinx?2x，g(x)?cosx?2x，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们和f(x)?g(x)?
sinx?cosx在x?0处均可导.
''5. 复合函数的求导法则：fx(?(x))?f(u)?(x)或y''x?y'u?u'x
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复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
?函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数. ?常数的判定方法；
如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理） 当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：
'')?I.C?0（C为常数） (sinx)?cosx (arcsixn'11?x2
(x)?nxn'n?1''xs)??（n?R） (cosx)??sinx (arcco11?x2
II. (lnx)'?x'x1x' (logax)?1xx(arctaxn)?logae
''1x2?12
(e)?e (a)?ax'lna (arccotx)??1x?1III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln|x|)'?1x.
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②形如y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)(x?b1)(x?b2)...(x?bn)两边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如y?xx这类函数，如y?xx取自然对数之后可变形为lny?xlnx，对两边求导可得
'yy?lnx?x?1x?y?ylnx?y?y?xlnx?x.
''xx§14. 复 数 知识要点
1. ?复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1. ?复数及其相关概念： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）； 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数—当b?0时的复数a + bi；
纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.
复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
?两个复数相等的定义：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0.
?两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若z1,z2为复数，则1若z1?z2?0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]
2若z1?z2，则z1?z2?0.（√）
??②若a,b,c?C，则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分条件.（当(a?b)2?i2，
(b?c)2?1,(c?a)2?0时，上式成立）
2. ?复平面内的两点间距离公式：d?z1?z2.
其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：z?z0?r（r?0）. ?曲线方程的复数形式：
①z?z0?r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②z?z1?z?z2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.
③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a?z1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.
④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a?z1z2，此方程表示两条射线）. ?绝对值不等式：
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