设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.
左边取等号的条件是z2??z1（??R，且??0），右边取等号的条件是z2??z1（??R，??0）. ②z1?z2?z1?z2?z1?z2.
左边取等号的条件是z2??z1（??R，??0），右边取等号的条件是z2??z1（??R，??0）. 注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An. 3. 共轭复数的性质：
z?z z1?z2?z1?z2
22z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi） z?z?|z|?|z|
z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2 ?z?z?1??1（z?0） zn?(z)n
2?z?z22??注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
?4. ?①复数的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N) ?n②对任何z，z1,z2?C及m,n?N?有
n③zm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?z2
1241注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i??1,i?1若由i?(i)2?12?1就会得到?1?1的错误结论.
②在实数集成立的|x|?x2. 当x为虚数时，|x|?x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ?常用的结论：
i??1,inn?124n?124?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1
i?i?in?2?in?3?0,(n?Z) 1?i1?i??i
(1?i)??2i,21?i1?i?i,若?是1的立方虚数根，即???12?32ni，则? 3 ? 1 ,? 2 ? ? , ? ? , 1 ? ? ? ? 2 ? 0 , ? n ?1 ? ? n ? 2? 0 ( n ? Z ) . ? ?1?5. ?复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①z?R?z?z.
②若z?0，z是纯虚数?z?z?0.
?模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|z|?|z|.
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6. ?复数的三角形式：z?r(cos??isin?). 辐角主值：?适合于0≤?＜2?的值，记作argz. 注：①z为零时，argz可取[0,2?)内任意值. ②辐角是多值的，都相差2?的整数倍. ③设a?R?,则arga?0,arg(?a)??,argai??复数的代数形式与三角形式的互化：
a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?2,arg(?ai)?32?.
?b2，cos??ar,sin??br.
?几类三角式的标准形式：
r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)] ?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)] r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)] r(sin??icos?)?r[cos(?2??)?isin(?2??)]
7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)时，应注意下述问题： ①当a,b,c?R时，若?＞0，则有二不等实数根x1,2?则有二相等复数根x1,2??b?2a|?|i?b?2a?；若?=0，则有二相等实数根x1,2??b2a；若?＜0，
（x1,2为共轭复数）.
②当a,b,c不全为实数时，不能用?方程根的情况.
③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：
r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)]
棣莫弗定理：[r(cos??isin?)]n?rn(cosn??isinn?).
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