广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
【知识梳理】
形如ax?bx?c?0?a?0?的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元
2二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
?b?b2?4ac求根公式x?内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了
2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 【例题精讲】
【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：
（1）x2 –2x=0 （2） x2 –9=0 （3）(1－3x)2＝1；
（4）（t－2）（t＋1）＝0 （5）x2＋8x＝2
（7）x2?4x?21?0 （8）x2?2x?15?0 （9）4x2?12x?9?0
（10）?a2?4a?21?0 （11）x2?11x?18?0 （12）2x2?x?3?0
2（13）x（x－6）＝2 （14）（2x＋1）＝3（2x＋1） （15）2b2?7b?15?0
（6）x2?7x?6?0
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23x2?x?3?0 （16）3a2?4a?4?0 （17）3b2?14b?5 （18）
（19）x4?x2?20?0 （20）(3x?5)2?5(3x?5)?6?0；
【例2】用适当的方法解下列关于x的方程（提高题）： （1）?3x?2??4x?3??5； （2）
（3）?5x?3??12?4?5x?3?； （4）?3x?1??x?1???4x?1??x?1?；
2
12x?2x?3327?0； 3
（5）2?3x?2
【巩固】用适当的方法解下列关于x的方程：
??2?3?1x?6?0。
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222（1）?x?2??9?x?1??0； （2）x?6ax?b?9a；
22
（3）2x?22?3x?6?0。 （4）?2x?1??x?3???4x?1??3?x?。
2??
【拓展】解方程：?6x?7??3x?4??x?1??6；
2
【例3】解方程：x?3x?4?0。
【巩固】解方程：
（1）x?x?1?1?0； （2）xx?x?2?0。
【例4】解关于x的方程：?m?1?x??2m?1?x?m?3?0。
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【巩固】解关于x的方程：x?4px?4p?5x?10p?6?0。
【例5】已知方程x?kx?7?0与x?6x??k?1??0有公共根。
2222（1）求k的值；
（2）求二方程的所有公共根和所有相异根。
【巩固】是否存在某个实数m，使得方程x?mx?2?0和x?2x?m?0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。
22第七讲：一元二次方程的判别式
【知识梳理】
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一、一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?根的情况：令??b2?4ac。
2?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2?1、若??0，则方程有两个不相等的实数根：x1?；
2a2a2、若??0，则方程有两个相等的实数根：x1?x2??3、若??0，则方程无实根（不代表没有解）。 二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；
4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 【例题精讲】
【例1】已知方程ax?4x?1?0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
【巩固】1、已知关于x的方程x?2?2?m?x?3?6m?0。
2b； 2a2求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
2、已知关于x的一元二次方程?1?2k?x?2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，求k的取值范
2围。
【拓展】关于x的方程kx??k?1?x?1?0有有理根，求整数k的值。
2
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