广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
关键是恰当设未知数、分析数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题。 【例题精讲】
【例1】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m。 （1）求鸡场的长和宽各为多少？
（2）题中墙的长度am对题目的解起着怎样的作用？
【例2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 5
10
15
20 票价（元）
人数（人） 【例3】将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
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【例4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点 A与B，若让他们仍从原地出发，互换彼此到达的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
【例5】一支士兵队伍长1200米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍的排头兵，并在到达排头后立即回到末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已经前进了1200米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？
【例6】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1980、1981、1993、1994，经核实确实有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参加。
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【巩固】
1、在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为xm，花园的面积为ym2。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由； （3）当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？
2、某水果批发商场有一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
3、甲乙两条船分别从河的两岸同时出发，它们的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米处，然后继续前进，都到达对岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米处，如果认为船到岸调转方向时不耽误时间，问河有多宽？
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A D
B C
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4、一支士兵队伍长100米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍排头，并在到达排头后立即回到队伍的末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已前进了100米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？
5、象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛的选手共有多少人？
第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式
【知识梳理】 一、因式分解： 1、常用的公式：
平方差公式：a?b??a?b??a?b?；
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完全平方公式：a?2ab?b??a?b?；
222 a?b?c?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2222 a?b?c?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2222 a?b?c?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2222立方和（差）公式：a?b??a?b?a?ab?b332?2?； ?；
a?b??a?b?a?ab?b332?22、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：
（1）ab?b?a?1??a?1??b?1?； （2）ab?a?b?1??a?1??b?1?； （3）a?4?a?2a?2a?2a?2； （4）4a?1?2a?2a?12a?2a?1； （5）a?b?c?2ab?2bc?2ac??a?b?c?；
22224?2??2?4?2??2?（6）a?b?c?3abc??a?b?c?a?b?c?ab?bc?ac。
333222??二、分式： 1、分式的意义
形如
A（A、B为整式），其中B中含有字母的式子叫分式。 B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质：
AA?MA?M??（其中M是不为零的整式）。 BB?MB?M（2）分式的符号法则：
分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 （3）倒数的性质：
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