广州市民间补习天皇——李老师 初二年级春季数学竞赛讲义
【例2】已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0。
2（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a?1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求?ABC的周长。
【巩固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x?10x?m?0的两根，则m?___________。
2、在等腰三角形ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，已知a?3，b和c是关于x的方程x?mx?2?
【拓展】已知对于正数a、b、c，方程cx?a?b?cx?b?0没有实数根，求证：以长
22221m?0的两个实数根，求三角形ABC的周长。 2?222?2a、b、c的线段为边能组成一个三角形。
【例3】设方程x?ax?4有三个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。
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【巩固】已知关于x的方程x??1?a?x?2ax?a?0有且只有一个实根，则实数a的取值范围
322是___________________。
【例4】设a，b，c，d?0，证明在方程
12x212x212x212x2?2a?bx?cd?0；?2b?cx?ad?0；
?2c?dx?ab?0；?2d?ax?bc?0，中，至少有两个方程有不相等的实数根。
第八讲：一元二次方程根与系数的关系
【知识梳理】
一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根与系数的关系（韦达定理）
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设方程的两个根x1，x2，则x1?x2??，x1x2?bac。 a韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形： （1）x1?x2??x1?x2??2x1x2；
222?x?x2??2x1x2xxx?x2?1（2）2?1?1；
x1x2x1x2x1x2222（3）x1?x2??x1?x2??x1?x2??3x1x2；
332??（4）?x1?x2???x1?x2??4x1x2；
22（5）x1?x2【例题精讲】
?x1?x2?2??x1?x2?2?4x1x2。
【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。
（1）x2－2x＋1＝0； （2）x2－9x＋10＝0；
解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ （3）2x2－9x＋5＝0； （4）4x2－7x＋1＝0；
解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ （5）2x2－5x＝0； （6）x2－1＝0
解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ 【例2】设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+1）（x2+1）=_______； （2）x12x2+x1x22=_______； （3）
x2x1?=_______ x1x2
（4）（x1+x2）2=_______； （5）（x1－x2）2=_______； （6）x13+x23=_______．
【例3】解答下列问题：
（1）设关于x的一元二次方程x?4x?2?k?1??0有两个实数根x1、x2，问是否存在
2x1?x2?x1?x2的情况？
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（2）已知：两个实数根，且?x1?2??x2?2??11，x1、x2是关于x的方程x??2a?1?x?a?0的；
22求a的值。 【巩固】
1、已知关于x的方程x?4x?a?0有两个实数根，且2x1?x2?7，则a?_____________。
2、已知?、?是方程x?x?1?0的两个实数根，则代数式?????2的值为_________。
222?2?m2?0。 【例4】已知关于x的方程：x??m?2?x?42（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2?x1?2，求m的值及相应的x1、x2。
【巩固】已知关于x的方程x??2k?3?x?k?1?0。
22（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足x1?x2?3，求k的值。
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【例4】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x?6x?4?0的两根，则△ABC的面积是多少？
【巩固】已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x二次方程x??2k?3?x?k?3k?2?0的两个
222实数根，第三边BC的长为5。
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
第九讲：一元二次方程的应用
【知识梳理】
方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多实际问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同，解题的
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