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典型例题 例1. 求下列函数的定义域：? （1）y=
(x?1)0;? (2)y=
31x?32?5?x2; ?(3)y=
x?1·x?1.?
|x|?x解：（1）由题意得?即??x?1?0?|x|?x?0,化简得??x??1?|x|?x,
?x??1.故函数的定义域为{x|x＜0x?0?2且x≠-1}.?
?x?3?0,（2）由题意可得?2?5?x?0解得???x??3???5?x?5.?
故函数的定义域为{x|-
5≤x≤
5且x≠±
3}.?
（3）要使函数有意义，必须有?
?x??1?x?1?0,,即???x?1?x?1?0∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.?
变式训练1：求下列函数的定义域：? （1）y=
lg(2?x)12?x?x2+(x-1) ; (2)y=
0
x2lg(4x?3)+(5x-4)0; (3)y=
25?x2+lgcosx;?
?2?x?0?x?2?解：（1）由?12?x?x2?0,得???3?x?4,?所以-3＜x＜2
?x?1?x?1?0??且x≠1.?
故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).?
3??x??4?4x?3?0?1?（2）由??4x?3?1,得?x??,2??5x?4?0??4?x?5??25?x?0（3）由??cosx?02?∴函数的定义域为????34,?1?144??(?,)?(,??). 2?255??5?x?5, ,得?????x?2k??(k?Z)?2k??22?借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为??5,???3?????3??,5?. ??(?,)??2?22?2?例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.? （1）y=f(3x); (2)y=f((3)y=f(x?13)?f(x?13)1x);?
;? (4)y=f(x+a)+f(x-a).??
11解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,?y=f(3x)的定义域为［0, ］.?
33（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).?
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（3）由条件，y的定义域是f(x?1)3与(x?13)定义域的交集.?
?0?x?1?????1?x2列出不等式组???31??3?3?1?x?2, ?1??1?0?x?3?1?3?x?433?3故y=f(x?113)?f(x?1)?3的定义域为?,2?.
?33??（４）由条件得??0?x?a?1??a?x?1?讨论：?
?0?x?a?1?a??a?x?1?a,①当1?a,??a?即0≤a≤1?1?a?1?a,2时，定义域为［a,1-a］;?
②当??a??a,1??a?1?a,即-2≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.?
综上所述：当0≤a≤112时，定义域为［a，1-a］；当-2≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.?
变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)2f(x-a)（0＜a＜12）的定义域是 （A.?? B.［a，1-a］? C.［-a，1+a］? D.［0，1］? 解：?B
例3. 求下列函数的值域：?
2x（1）y=
x?xx2;?x?1 (2)y=x-
1?2x;? (3)y=
e?1ex?1.?
解：（1）方法一 （配方法）? ∵y=1-12,x2,?x?1而x?x?1?(x?1232)?4?34
∴0＜
1?4∴?1x2,?x?133?y?1.∴值域为?1???3,1?.
??方法二 （判别式法） 2由y=
x?xx2,(1.?x?1得(y-1)x2??y)x?y?0
∵y=1时,x??,?y?1.又∵x?R，∴必须?=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴?13?y?1.∵y?1,∴函数的值域为?1??3,1??.（2）方法一 （单调性法）?
??定义域??x|x?1?，函数y=x,y=-1?2x均在????,1?上递增，
?2???2??故y≤
1112?1?2?2?2. ∴函数的值域为????,1??2?.
?方法二 （换元法）?
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）
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令
1?2x=t,则t≥0，且x=
11?t2
2
.?∴y=-
12（t+1）2+1≤（t≥0）,?
21∴y∈（-∞，］.?
2（3）由y=
e?1e?1
x
x
得,ex=
1?y1?y.?∵e
x
＞0,即
1?y1?y＞0,解得-1＜y＜1.?
∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.? 变式训练3：求下列函数的值域：? （1）y=
1?x2x?5;? (2)y=|x|
12?72(2x?5)1?x2.? ≠0,
1解：（1）(分离常数法)y=-1，∵
72(2x?5)∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.?
22(2)方法一 (换元法)?
∵1-x2≥0,令x=sin?,则有y=|sin?cos?|=|sin2?|,?
21故函数值域为［0，］.
221方法二 y=|x|2∴0≤y≤
11?x?2?x?x?4?(x?212)?214,
?1?,即函数的值域为?0,?2?2?1.
例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.?
2解：∵f（x）=(x-1)+a-.
2212
1∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间. ∴f（x）min=f（1）=a-=1 ①
21f（x）max=f（b）=b-b+a=b ②
212
3??a?,由①②解得?2?b?3.?
变式训练4：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).?
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；?
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.?
解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),?
∴Δ=16a2-4(2a+6)=0?2a2-a-3=0∴a=-1或a=.?
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（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤,∴a+3＞0,?
23∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+
231743?(a??). ?1,???2?32)∵二次函数f(a)在???1,?3??2?上单调递减，∴f（a）min=f(=-
194，f（a）max=f（-1）=4，?
∴f(a)的值域为????19?,4?4?.
小结归纳
1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义. 2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时 函数的单调性
基础过关
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 . 2．判断单调性的方法： (1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ . (2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数； 2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性； 4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 9 - 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 典型例题 例1. 已知函数f(x)=a+ x x?2x?1 (a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.? 证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0, a∴a∴ x2x2?x1＞1且a＞0,? x1?ax1?a(ax1x2?x1?1)?0，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,? (x1?1)(x2?1)?3(x2?x1)(x1?1)(x2?1)x2?2x2?1?x1?2x1?1?(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)＞0,? 于是f(x2)-f(x1)=ax2?ax1+ x2?2x2?1?x1?2x1?1＞0,? 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.? 方法二 f(x)=ax+1-求导数得 f?(x)f?(x)3x?1(a＞1),? 3=axlna+ (x?1)2,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0, 3(x?1)2＞0,? ＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.? 方法三 ∵a＞1,∴y=ax为增函数，? 又y= x x?2x?1?1??3x?1，在（-1，+∞）上也是增函数.? ∴y=a+ x?2x?1在（-1，+∞）上为增函数. ax变式训练1：讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.? 解：方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性， 设x1＞x2＞0,则? f(x1)-f(x2) =（x1+∴当0＜x2＜x1≤ a ax1）-（x2+ ax1x2ax2）=(x1-x2)2（1- ax1x2）. 时，＞1,? a 则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，当x1＞x2≥ a ］上是减函数.? 时，0＜ a ax1x2＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),? 故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，? a ∴f（x）分别在（-∞，-f（x）分别在［-方法二 由 f?(x)］、［ a a ，+∞）上为增函数；? a ，0）、（0， ax2］上为减函数.? a =1-=0可得x=± www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 10 -