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∴函数y=(故y=(
12)122)6?x?2x2在［，+∞）上是增函数.?
4116?x?2x单调递增区间为［，+∞）.?
4（2）令u=x2-x-6,则y=2u,?
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,
21在区间［，+∞）上u=x-x-6是增函数.?
212
又函数y=2u为增函数，? ∴函数y=2故函数y=2
x?x?62在区间［，+∞）上是增函数.?
21x?x?62的单调递增区间是［，+∞）.
2ex1例4．设a＞0,f(x)=（1）求a的值；?
a?aex是R上的偶函数.?
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.?
（1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），?∴∴（a-∴a-1a1a)(e?xe?xa?ae?x?exa?aex,
1ex)=0对一切x均成立，?
=0，而a＞0,∴a=1.
（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 则f(x1)-f(x2)=e +
x11ex1-e-x21ex2
=(ex2?e) (
x11ex1?x2?1).
21∵x1＜x2,∴ex1?e,有ex?ex?0.??
x2x1?x2∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴e1ex1?x2＞1,
-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
故f(x)在（0,+∞）上是增函数.
变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；? （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.? （1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).? ∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-24?x?x2
x
x
4?1
.
?1??2xx4?1.
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由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?
?2?x4?1?x2?f（x）=??x?4?1?0??xx?(0,1)x?(?1,0)x???1,0,1?得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有?
(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=设0＜x1＜x2＜1,? 则f(x1)-f(x2)=
2x1x12xx4?1.
4?1x2??2x2x24?1x1?(2?2)(2x1x2x1x1?x2?1)(4?1)(4?1)x2,
∵0＜x1＜x2＜1,∴22＞0，2x1?x2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f(x)在（0，1）上单调递减.
1．
b小结归纳 ＝a，a＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，
b
N因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.
2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
第6课时 对数函数
基础过关 1．对数： (1) 定义：如果ab?N(a?0,且a?1)
，那么称 为 ，记作 ，其中a称为对数的底，N称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数，log10② 以无理数e(e?2.71828(2) 基本性质：
01① 真数N为 (负数和零无对数)；② loga1? ；③ logaa? ；
?)N记作___________．
为底的对数称为自然对数，logeN记作_________．
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④ 对数恒等式：alogaN? ． N(3) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________； ② logaMN＝____________________________；
③ logaMn＝ (n∈R).
④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ logamnnb? .bam
2．对数函数：
① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；
y?a(a?0,且a?1)互为反函数. 4) 函数y?logax与函数
x② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象向上无限接近y轴；当a?1时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称． ③ 函数值的变化特征：
0?a?1 a?1 ① x?1时 ② x?1时 ③ 0?典型例题 x?1时① x?1时 ② x?1时 x?1时 ③ 0?
例1 计算：（1）log（2）2(lg（3）lg
212?3(2?3)
(lg2)?lg2?1223249)+lg-lg
342
22lg5++lg
245;?
8.??
解：（1）方法一 利用对数定义求值? 设log2?(2?33)=x,?则(2+
3)x=2-
3=
12?3=（2+
3）-1,∴x=-1.?
方法二 利用对数的运算性质求解?
log2?3(2?3)=log22?3
12?3=log22?3(2+
(lg3)=-1.?
2)?2lg2-1
（2）原式=lg（2lg+lg5）+
2?1=lg
2(lg2+lg5)+|lg
2-1|?
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=lg
2+(1-lg
122)=1.?
4312（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245?
21= (5lg2-2lg7)-3
2351432lg2+ (2lg7+lg5)?
2111=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5?
22221=lg(235)= lg10=.??
222111变式训练1：化简求值.? （1）log2
748+log212-log242-1;?
21（2）(lg2)2+lg22lg50+lg25;? （3）(log32+log92)2(log43+log83).? 解：(1)原式=log2
748+log212-log2
42-log22=log2
7?1248?42?2?log2122?log22?32??32.?
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.? （3）原式=(
lg2lg3?lg22lg3)·(lg32lg2?lg33lg2)?3lg25lg35·?. 2lg36lg24例2 比较下列各组数的大小.?
（1）log32与log56;?（2）log1.10.7与log1.20.7;?
35（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.?
111222解：（1）∵log3＜log31=0,?而log5＞log51=0,∴log3＜log5.?
35352626(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,?∴0＞log∴
1log0.71.1?1log0.71.20.71.1?log0.71.2,?
,?
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.? 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.?
如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.? (3)∵y=log1x为减函数，且log212b?log1a?log1c22,?
∴b＞a＞c,而y=2是增函数，∴2＞2＞2.? 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则logaA.logaC.log1b?logab?log1bxbac
1b,logab,log1bb的大小关系是 （ ）
1a1bb1
B.logab?log1b1?log1bb
ab?logb?logab D.logbb?logab?logabwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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解： C
例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，
试求a的取值范围.?
解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.? 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.? 只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,? ∴|f(x)|=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，? ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.? ∴对于任意x∈［3，+∞）都有? |f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，? 只要-loga3≥1成立即可，? ∴loga3≤-1=loga
1a,即
1a≤3,∴≤a＜1.?
311综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.
3变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1-取值范围.?
解：令g(x)=x-ax-a, 则g(x)=（x-a22
3］上是单调递减函数.求实数a的
）-a-
2
a24,?由以上知g(x）的图象关于直线x=
a2对称且此抛物线开口向上.?
因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,? 在区间（-∞,1-3］上是减函数，?
3所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-a???1?3??a?2?232，即?∴?2??g(1?3)?0?(1?3)?a(1??］上也是单调减函数，且g(x)＞0.?
3)?a?0解得2-2
3≤a＜2.?
3故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.
例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函
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