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2??x?3或x?2?g(?1)?2?x?x?4x?4?0则?，即，解得：x>3或x<1． ?2x?2或x?1???g(1)?x?2?x?4x?4?0变式训练1： 当0?x?1时，函数y?ax?a?1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是
（ ） A．a?解：D
log1x?2?x例2.设x1,x2,x3依次是方程,log2(x?2)?212 B．a?1 C．a?12或a?1 D．
12?a?1
?x，
x2?x?2的实数根，试比较x1,x2,x3的大小 ．
y?log1xx解：在同一坐标内作出函数y?x?2，，y??2的图象
2从图中可以看出，0?x3?x1 又x2?0，故x2?x3?x1
变式训练2：已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?3)?f(x?1)，且x∈[－1,1]时，f(x)?|x|，
则y?f(x)与y?log5x的图象交点的个数是( ) A．3 B．4 C．5
D．6
解：由f(x?3)?f(x?1)知f(x?2)?f(x)故
f(x)是周期为2的函数，在同一坐标系中作出y?f(x)与
y?log5x的图象，可以看出，交点个数为4．
例3. 已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b为常数，且a?0) 满足条件：f(x?1)?f(3?x)，且方程f(x)?2x有等根.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m、n(m?n)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
2解：（1）∵方程ax2?bx?2x有等根，∴??(b?2)?0，得b=2 ．
由f(x?1)?f(3?x)知此函数图象的对称轴方程为x??2故f(x)??x?2x ．
2（2）f(x)??(x?1)?1?1，∴4n?1，即n?b2a?1，得a??1，
14
142而抛物线y??x?2x的对称轴为x?1 ∴n?时，f(x)在［m，n］上为增函数.
?f(m)?4m若满足题设条件的m，n存在，则?，
f(n)?4n?2??m?0或m??2??m?2m?4m即??? 2n?0或n??2????n?2n?4nwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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又m?n?14， ∴m??2,n?0，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.
由以上知满足条件的m、n存在， m??2,n?0． 变式训练3：已知函数f(x)?1a?1x ((a?0,x?0).
（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围. 解：（1）证明 任取x1?x2?0
f(x1)?f(x2)?(1a?1x1)?(1a?1x2)?1x2?1x1?x1?x2x1x2
∵x1?x2?0，∴x1?x2?0，x1?x2?0，
∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数. （2）解： ∵
a?12x?1在（0，+∞）上恒成立， x1a?1x?2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴
令
g(x)?12x?1x?122x?1x?24，当且仅当2x?1x(x?0)即x=
22时取等号
要使
a?12x?1x在(0,+∞)上恒成立，则a?2424
故a的取值范围是［,+∞)．
（3）解： 由（1）f(x)在定义域上是增函数. ∴m?f(m),n?f(n)，即m2?故方程x2?1a1am?1?0，n?21an?1?0
1a?0
x?1?0有两个不相等的正根m，n，注意到m?n?1，m?n?112故只需要(??()2?4?0,由于a?0，则0?a?a ．
例4．若函数f(x)?2?|x?1|?m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．0?m?1 B．0?m?1 C．m?1或m?0 D．m?1或m?0 解：令f(x)?0，得：m?()|21x?1|，∵ |x?1|?0，∴ 0?()|21x?1|?1，即0?m?1．
变式训练4：对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点. 已
2知函数f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)
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（1）当a?1,b??2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
2解：（1）当a?1,b??2时，f(x)?x?x?3
由题意可知x?x2?x?3，得x1??1,x2?3 故当当a?1,b??2时，f(x)的不动点 ?1,3．
2（2）∵f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)恒有两个不动点，
2∴x?ax?(b?1)x?b?1，
即ax2?bx?b?1?0恒有两相异实根
2∴??b?4ab?4a?0(b?R)恒成立.
2于是???(4a)?16a?0解得
故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0?a?1.
本节主要注意以下几个问题：
1．利用函数的图象求方程的解的个数； 2．一元二次方程的根的分布；
3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 小结归纳 第10课时 函数模型及其应用
基础过关 中的变量；
2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题
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典型例题 实际问题 抽象概括 函数模型 运用函数的性质 实际问题的还原说函数模型的例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.? 解： 设四边形EFGH的面积为S，? 则S△AEH=S△CFG=x,
212
S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），?
21∴S=ab-2［
2
12x2
+（a-x）（b-x）］?
2a?b4)2
1=-2x+（a+b）x=-2（x-+
(a?b)82,?
由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.? 又0＜b＜a,∴0＜b＜则当x=若
a?b4a?b4a?b2,若
a?b42≤b,即a≤3b时，? ;?
时，S有最大值
(a?b)8＞b,即a＞3b时，?
S（x）在（0,b］上是增函数，? 此时当x=b时，S有最大值为? -2(b-a?b4)+
2
(a?b)82=ab-b,?
a?b42
综上可知，当a≤3b时，x=四边形面积Smax=
(a?b)82时，?
,?
当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.?
变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元， 进货总额为8（100-10x）元，? 显然100-10x＞0,即x＜10,?
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则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10).? 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.?
例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴 的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；?
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；? （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到N城？如果不会，请说明理由.? 解：（1）由图象可知： 当t=4时，v=334=12,? ∴s=34312=24.?
21（2）当0≤t≤10时，s=2t23t=t，?
22132
当10＜t≤20时，s=310330+30（t-10）=30t-150；?
21当20＜t≤35时，s=310330+10330+(t-20)330-3(t-20)32(t-20)=-t2+70t-550.
2211综上可知
?32t??0,10?,?t,2??t??10,20?, s=?30t?150,??t2?70t?550,t??20,35?.???32(3)∵t∈［0，10］时，smax=3102=150＜650.? t∈（10，20］时，smax=30320-150=450＜650.? ∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.? 解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,?
∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.?
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台， 需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-x22（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；?
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？? （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？?
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