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变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.?
当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），? 即f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=?即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
例3 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?.? （1）求证：f(x)是周期函数；?
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=数.?
（1）证明： ∵f（x+2）=-f（x），? ∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， ∴f（x）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x≤1时，f(x)=x,?
2112??xlg(2?x)??xlg(2?x)(x?0),(x?0).
x,求使f(x)=-
12在［0，2 009］上的所有x的个
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.?
2211∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,? ∴-f（x）=-x，即f(x)= x.
2211故f(x)= x(-1≤x≤1)
21又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,? ∴f(x-2)=(x-2),
21又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），? ∴-f（x）=（x-2），?
21∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.
21?1x??2∴f（x）=???1(x?2)??21(?1?x?1)
(1?x?3)由f(x)=-,解得x=-1.?
2∵f（x）是以4为周期的周期函数.?故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).
21令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤
4110052,?
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又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,?
∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-.
21变式训练3：已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.? （1）试判断f(x)的奇偶性；? （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
2211解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)+|-x|+1=f(x),?
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,? f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.? （2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+
2112
34,?
∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，?
2从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a+1.? 当x≥a时，函数f(x)=x+x-a+1=(x+)-a+,?
242
2
12
3∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的
21最小值为f(a)=a2+1.?
综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a+1.
22112
小结归纳 1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.
2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.
3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.
第5课时 指数函数
基础过关 1．根式：
n(1) 定义：若x?a，则x称为a的n次方根
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① 当n为奇数时，a的n次方根记作__________；
② 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作
________(a>0). (2) 性质： ①
(a)?ann；
?a② 当n为奇数时，nan③ 当n为偶数时，nan2．指数： (1) 规定：
；
a(a?0)?_______＝ ????a(a?0)
① a0＝ (a≠0)； ② a＝ ；
m-p
③ an? a ( a ? 0, m
nm .
(2) 运算性质： ① ② ③
a?a? a rsrsr?s ( a ? 0 , (a>0, r、s?Q)
(a)? a rr?s(a, (a>0, r、s?Q) ? 0 rr(a?b)? a ?b?0,r、s? ( a ? 0 , b(a>0, rQ)
注：上述性质对r、s?R均适用. 3．指数函数：
① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像：
1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象向 无限接近x轴，当a?1时，图象向 无限接近x轴)；3)函数于 对称. ③ 函数值的变化特征：
0?a?1 y?a与y?ax?x的图象关
a?1 ① x?0时 ① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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典型例题
例1. 已知a=,b=9.求： （1）
913733a2a?3?a?8?a15; （2）
a?b(ab)?1?1?1.
解：（1）原式=a172?13.a31??23÷［a
(?83)?122a151?32］?= a76?12?(?43?52)=a.?
?21∵a=，∴原式=3.?
9（2）方法一 化去负指数后解.?
1
a?1?b?1(ab)?1?a?1ab1b?a?bab1ab?a?b.∵a=
19,b?9,∴a+b=
829.
方法二 利用运算性质解.?
a?1?b?1(ab)?1?a?1?1ab?1?b?1?1ab?1?8291b?1?1a?1?b?a.
∵a=
19,b?9,∴a+b=.
变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
2（1）
(a?b)36?1?12121?a?b35a?b?2;
（2）a?b?(?3ab)?(4a?b).
3232561?1?12?31解：（1）原式=
ab?ab3322156?1111?a111???3261?b215??36?a?b?1.00
32ab6（2）原式=-
52ab6?1?313?(2a·b)??2?354ab6?1?313?(ab)???54a?12?b?32??54?1ab3??5ab4ab2.
例2. 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 （ ）
A.f(bx)≤f(cx)? B.f(bx)≥f(cx)
C.f(b)＞f(c) D.大小关系随x的不同而不同 解：A
变式训练2：已知实数a、b满足等式(11ba)?()23x
x
，下列五个关系式：?①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a
＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个 ? B.2个 ?C.3个 ?D.4个? 解：B??
例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：?
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（1）f(x)=3
x?5x?42;?（2）g(x)=-(
11xx)?4()?542.
解：（1）依题意x2-5x+4≥0,?解得x≥4或x≤1,? ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.? 令u=
x?5x?4?2(x?52)?294,∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），?
x?5x?42∴u≥0，即
x?5x?42≥0，而f(x)=3≥30=1,?
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.? ∵u=
(x?52)?294,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，?
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，? f（x）=3
x?5x?42在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.?
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.? （2）由g(x)=-(
11x12x1xx)?4()?5??()?4()?5,4222?
∴函数的定义域为R，令t=(
2
12)x
(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,?
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)+9≤9,等号成立的条件是t=2,? 即g(x)≤9,等号成立的条件是(
12)x=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.?
)x由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(
12是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区
间，?求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.? ∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，? 由0＜t=(
12)x≤2,可得x≥-1,?由t=(
12)x≥2,可得x≤-1.?
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，?
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.? 变式训练3：求下列函数的单调递增区间：?（1）y=(解：（1）函数的定义域为R.? 令u=6+x-2x2,则y=(
122
12)6?x?2x2;(2)y=2
x?x?62.?
)u.?
1∵二次函数u=6+x-2x的对称轴为x=,?
4在区间［，+∞）上，u=6+x-2x是减函数，?
412
又函数y=(
12)u
是减函数，?
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