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4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称． 典型例题
例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
1（1）y?x （2）y?x2 （3）y?x?2
31 （4）y?x?x2?2 （5）y?x2?x?1211 （6）f(x)?x2?3(?x)4
解：（1）此函数的定义域为R，
?f(?x)?(?x)??x??f(x)
33∴此函数为奇函数．
1（2）y?x2?x ∴此函数的定义域为[0,??)
?此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数． （3）y?x?2?1x2
∴此函数的定义域为(??,0)?(0,??)
1(?x)2 ?f(?x)??1x2?f(x)
∴此函数为偶函数 （4）y?x?x2?2?x?21x2
∴此函数的定义域为(??,0)?(0,??)
1(?x)2?f(?x)?(?x)?2?x?21x2?f(x) ∴此函数为偶函数
1（5）y?x2?x?12?x?1x www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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∴此函数的定义域为[0,??)
?此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
11（6）f(x)?x2?3(?x)4??x?0 ?x?0 ???x?0?x?34?x ∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）y?x （2）y?x5?435 （3）y?x4（4）y?x?35（5）y?x?12
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域(??,0)?(0,??)，值域(0,??)，偶函数，在(??,0)上单调递增， 在(0,??) 上单调递减．
（3）定义域[0,??)，值域[0,??)，偶函数，非奇非偶函数，在[0,??)上单调递增． （4）定义域(??,0)?(0,??)，值域(??,0)?(0,??)，奇函数，在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递减．
（5）定义域(0,??)，值域(0,??)，非奇非偶函数，在(0,??)上单调递减． 例2比较大小：
1133（1）1.52,1.72 （2）(?1.2),(?1.25) （3）5.25,5.26,5.26
30.5（4）0.5,3,log30.5
?1?1?2111解：（1）∵y?x2在[0,??)上是增函数，1.5?1.7，∴1.52?1.72 （2）∵y?x在R上是增函数，
?1.2??1.25，∴(?1.2)3?(?1.25)3
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（3）∵y?x?1在(0,??)上是减函数，
5.25?5.26，∴5.25?1?5.26?1；
∵y?5.26x是增函数，?1??2， ∴5.26?1?5.26?2；
综上，5.25?1?5.26?1?5.26?2
（4）∵0?0.53?1，30.5?1，log30.5?0， ∴log30.5?0.53?30.5
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：
222（1）2.53,(?1.4)3,(?3)3 （2）0.162??34,0.5212?323,6.258 5?131313（3）(),(),(),3,()
353233223232解：（1）(?1.4)?2.5?(?3)3
3（2）6.258?0.5（3）()2?()5321?32?0.16?()32?34, 32315?132?13?()?33 2例3已知幂函数y?xm的值．
m?2m?3（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求
分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m?Z，便可逐步确定m的值． 解：∵幂函数y?xm?2m?32（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，
2∴m?2m?3?0，∴?1?m?3；
2∵m?Z，∴(m?2m?3)?Z，又函数图象关于原点对称，
2∴m?2m?3是奇数，∴m?0或m?2．
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1变式训练3：证明幂函数f(x)?x2在[0,??)上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设0?x1?x2，
11则f(x1)?f(x2)?x12?x22?x1?x2?x1?x2x1?x2
?x1?x2 ?x1?x2?0 ?x1?x2?0
?f(x1)?f(x2)?0 即f(x1)?f(x2)
?此函数在[0,??)上是增函数
小结归纳
1．注意幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质要熟练掌握
第9课时 函数与方程
基础过关 1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程
两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n2，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区
间(m,p)中；若f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按照
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以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 典型例题
例1.（1）若f(x)?A．
12x?1x，则方程f(4x)?x的根是( ) C．2
D．－2
B．－
12
解：A．
（2）设函数f(x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x),且方程f(x)?0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
解：由f(3?x)?f(3?x)知f(x)的图象有对称轴x?3，方程f(x)?0的6个根在x 轴上对应的点关于直线x?3对称，依次设为3?t1,3?t2,3?t3,3?t1,3?t2,3?t3，故6个根的和为18，答案为D．
（3）已知
5b?c5a（a?1，、b、c∈R），则有（ ）
A．b2?4ac B．b2?4ac C．b2?4ac D．b2?4ac 解法一：：依题设有 a?5?b?5?c?0
∴5是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的一个实根； ∴△＝b2?4ac≥0 ∴b2?4ac，答案为B．
解法二：去分母，移项，两边平方得：5b2?25a2?10ac?c2?10ac＋2?5a?c＝20ac． ∴b2?4ac，答案为B．
（4）关于x的方程 x2?(2m?8)x?m2?16?0的两个实根 x、x 满足 x1?1232?x2，则实
数m的取值范围
22解：设f(x)?x?(2m?8)x?m?16，则f()?32916?3(m?4)?m?16?0，
2即：4m2?12m?7?0，解得：?12?m?72．
（5）若对于任意a?[?1,1]，函数f(x)?x2?(a?4)x?4?2a的值恒大于零, 则x的取值范围是
解：设g(a)?(x?2)a?x2?4x?4，显然，x?2
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