实变函数与泛函分析概要
第一章 集合 基本要求：
1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、 会求已知集合的并、交、差、余集。 4、 了解对等的概念及性质。 5、 掌握可数集合的概念和性质。 6、 会判断己知集合是否是可数集。
7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。
第二章 点集 基本要求：
1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、 会求己知集合的开集和导集。
5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、 了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：
1、 聚点性质§2 中T1聚点原则：
P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）
2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3
··－－
T2：设A?B，则A??B?，Ａ?Ｂ，Ａ?Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪ B′.
3、 开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）
――
T1：对任何E?R?，?是开集，E′和Ｅ都是闭集。（?称为开核，Ｅ称为闭包的理由也在于此）
T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。 T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，? 是一开集族{Ui}i?I ∪
它覆盖了F（即Fсｉ?ＩUi），则 ? 中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
1
同样覆盖了F（即F?ｍ（i?I） ∪ Ui）4、 开（闭）集类、完备集类。 开集类：R?，Φ，开区间，邻域、?、Pо 闭集类：R?，Φ，闭区间，有限集，E?、E、P 完备集类：R?，Φ，闭区间、P
二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、
判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。
第三章 测度论 基本要求：
1、 理解外测度的概念及其有关性质。 2、 掌握要测集的概念及其有关性质。 3、 掌握零测度集的概念及性质。
4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。 5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。
6、 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。
要点归纳：
外测度：①定义：E?R? Ii（开区间）∞
∪ Ii ?E m*（E）=infｉ∑│Ii│ ②性质：(1) 0≤m*E≤+∞（非负） （2）若AсB则m*A≤ m*B（单调性）
（3）m* （∞∞
∪Ai）≤∑m*Ai（次可列可加性）
③可测集：E?R? 对任意的T?R?有：m*（T）= m*（T∩E）+ m*（T∩CE） 称E为可测集，记为mE 其性质：
1）T1：E可测? ? A?E B?CE使m*（A∪B）= m*A+ m*B 2）T2：E可测?CE可测
④运算性质：设S1、S2可测?S1∪S2可测（T3）； 设S1、S2可测?S1∩S2可测 （T4）； 设S1、S2可测?S1-S2可测 （T5）。
⑤ S1、S2…Sn 可测? ∪Si可测 （推论3） ∩Si可测（T7） ⑥ S1、S2…Sn… 可测，Si∩Sj=φ ?∪Si可测 m(∪Si)= ∑m(Si)(T6)
2
⑦ Si递增,S1?S2?S3?…?lim(∪Si)=lim mSi=Ms(T8) ⑧ Si递降可测, S1?S2?S3?…当mS1<+∞ ? limm(∩Si)=lim mSn (T9)
⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1] ∩Q、Ф、P 零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。 2）区间是可测集 mI=│I│ 3）开集、闭集；
4）Borel集 定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集 如[-1，1]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[0，1]
Borel集 定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。
T6：设E是任一可测集，存在Gδ 集，使E?G，且m（G-E）=0 T7：设E是任一可测集，存在Gσ 集，使F?E，且m（F-E）=0 可测集是存在的。
第四章 可测函数 基本要求：
1、 掌握可测函数的概念和主要性质。
2、 掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、
几乎处处收敛…）的概念。 3、 掌握一批可测函数的例子。
4、 掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。 5、 理解叶果洛夫定理和鲁金定理。 6、 了解依测度收敛的概念及其性质。 7、 理解三种收敛之间的关系。
(一) 基本概念
1可测函数：?是定义在可测集E?R?上的实函数，任意的α∈R E[?>α]是可测集，称?（x）是E上的可测函数 ?可测?任意的α∈R E[?≧α]是可测集 ?任意的α∈R E[?<α]是可测集 ?任意的α∈R E[?≦α]是可测集
?任意的α，β∈R E[α≤?<β]是可测集 （ │?│<+∞） 几乎处处成立
3
2连续函数、简单函数
3依测度收敛、收敛 、一致收敛
（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理） （1） 充要条件（T1）4 个等价条件
S
（2） 集合分解T3（2），?在Ei之并S ∪Ei上，且在Ei上可测=> ?在∪Ei上可测 （3） （四则运算）? ，g在E上可测?+g，?g，│?│，1/ ?在E上可测。 （4） 极限运算 { ?n}是可测函数列，则μ=inf ?n λ（x）=sup ?n可测（T5）
── ?F=lim ?n G=lim ?n 可测
（5） 与简单函数的关系：?在E上可测 ? ?总可以表成一列简单函数{φn}的极限
lim函数 ?= n φn，而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…
2.ЕгopOв定理：mE<+∞ ?n 是E上a.e于一个a.e有限的函数?的可测函数 ? 对任意的?>0 存在子集Eδ?E 使得?n在Eδ上一致收敛 且m（E-Eδ）
3Лузин定理：?是E上a.e有限可测函数,任意δ>0 ?闭子集Eδ?E 使得?在Eδ上连续 且m（E-Eδ）<δ即在E上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。 4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。
5三种收敛之间的关系：（ E?R? mE＜+∞） 一致收敛
测度收敛 几乎处 处收敛 （ Riesz：fn?f 则 { fni}→f a.e于E ） Lebesgue：1） mE<+∞；2）fn E 上a.e有限的可测函数列; 3) fn E 上a.e收敛于a.e有限的f
4
? fn?f(x) 在此mE<+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛
补充定理(见复旦§3.2 T5) mE<+∞, fn是E上可测函数列 fn ?f ?{ fn} 的（任何子列）?fni ，总可以找到
子子列（?） fnij →f a.e于E
三、基本方法 ：
1判函数可测 （1） 集合判别法，任意的a?R E[f>a] 是可测集 （2）
集合分解法，E=∪Ei Ei∩Ej=Ф f在Ei 上可测
（3） 函数分解法，f可表为若干函数的运算时 （4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1，T8） （5） 可测函数类
2判断三种函数之间的关系
第五章 积分论 基本要求：
1、 了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L可积和L积分的概念。2、 掌握有界函数L积分的性质。
3、 理解非负函数L积分与L可积的概念。
4、 理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。 5、 掌握一般函数的L积分的性质。 6、 掌握L积分极限定理。
7、 弄清L积分与R积分之间的关系。 8、 熟练掌握计算L积分的方法。
9、 会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。 10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。
11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。
Lebesgue积分
1、 Riemann积分 分割、作和、取确界、求极限。 2、 Lebesgue积分
定义1：E=ｎ
∪Ei,各Ei互不相交，可测，则称{Ei}为E的一个分划，记作D={Ei} 定义2：设f是定义在E?R?（mE<∞）上的有界函数，D={Ei} 令B?=ｓｕｘ?Ｅｉ ｐf（x） bi=ｉｘｎ?Ｅｉ ｆ
f（x） 大和S（D，f）=∞
∑BimEi = S（D，f）
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