∞
小和?（D，f）=∑bimEi=?（D，f） ?（D，f）≤S（D，f）
定义3：设f是定义在E?R?（mE<∞）上的有界函数 –
上积分：∫Ｅf（x）dx=inf{ S（D，f）}
∫
下积分：–Ｅ f（x）dx=sup ?（D，f）若上下积分相等，则称f在E上可积，其积分值叫做L积分值，记（L）∫E f（x）dx
T1：设 f是定义在E?Rq（mE<∞）上的有界函数，则f在E上L可积?═?任意的ε＞ 0
S（D，f）- ?（D，f）＜ε
T2：f在E上L可积?f在E上可测 （*） 对有界函数而言，L可积?可测
T3：f，g有界，在E上可测，f±g，fg，f/g， │f│可积 T4：f在[a，b]上R可积═?L可积，且值相等 *
L积分的性质：
T-1（1）：f在E上L可积，则在E的可测子集上也L可积；反之， E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1、E2可测，若f在Ei上L可积，则f在E上可积 ∫Efdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx （积分的可加性）
（2） f，g 在E上有界可测 ∫E（f+g）dx=∫ Efdx+∫Egdx
（3）任意c?R ∫ Ecfdx=c∫Efdx
（4）f，g在E上L可积，且f≤g 则∫Efdx≤∫Egdx 特别地，b≤f≤B ∫Efdx ?[bmE，BmE] 推论1：（1）当mE=0 ∫Efdx=0 （2）f=c ∫Efdx=cmE
（5）f在E上可积，则│f│可积，且│∫Efdx│≤∫E│f│dx T-2 （1）设f在E上L可积 f≥0 ∫Efdx=0 则 f=0 a.e于E （2）f在E上L可积，则对任意的可测集A属于E
6
使ｌｉｍｍＡ→０ ∫Afdx=0 （绝对连续性）
推2：设f，g在E上有界可积，且f=g a.e于E 则 ∫Efdx= ∫E g dx
证明思路: E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1=E[f≠g] ∫E (f- g)dx = ∫E1 + ∫E2 (f- g)dx=0
注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集E0
上无定义亦可.
2)从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变
一般函数的积分
一、 非负函数：f, E?Eｑ 二、 定义: f≥0 E?Eｑ mE<∞
ｆｆ≤ｎ
[f(x)]n={ｎ ｆ＞ｎ 称[f]n为（E上）截断函数 性质：（1） ? [f(x)]n 有界非负， f≤n （2）单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤… ｌｉｍ
（3）ｎ→∞[f]n=f（x） 定义1：设f为非负（于E）可测（mE<∞）
ｌｉｍ
称∫Efdx=∫Eｎ→∞[f]nd x（若存在含无穷大）为f在E上的L积分 ｌｉｍ
当∫Eｎ→∞[f]nd x为有限时，称f为在E上的非负可积函数 注：①非负可积一定存在分
② L积分 非负可积 三、 一般函数的积分
＋
设f在E（mE<+∞）上可测， f f－ 在E上非负可测，则│f │可测 －＋－∫E f＋ dx ∫E fdx存在 f= f- f －∫E f dx=∫E f＋ dx-∫E fdx
7
－
定义 2：设f在E（mE<+∞）上可测，若∫E f＋ dx和∫E fdx不同时为+∞
则称f在E上积分确定
当∫E f dx<+∞时，则称f在E上L可积
注：①f可测 f的积分确定 f可积
ff[f]n?? 一般函数 ??非负函数??? ②有界函数 ???? mE<+∞
L积分的性质：
定理1-（1）：若 mE=0，则 ∫E f dx=0
（2）：f在E上可积?mE[f=+∞]=0 f有限a.e于E 同（R）（3）：f在E上积分确定? f在可测子集E1 ?E上积分确定
?Efdx??fdx??fdx E=E1∪E2
E1E2(4):f在E上积分确定,f=g a.e于E则f,g的积分确定且相等 几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)
同(R)(5):f,g在E上非负可测?∫E(f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx 同(R)(6): f,g在E上积分确定f≤g ? ∫E f dx≤∫E fgdx L可积性质
定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略) 积分极限定理 T-1 L控制收敛定理
设1）{fn}是E上一列可测函数
2）│fn│≤f（x） f为L可积函数 3）fn?f（fn→f a.e 于E）
ｌｉｍ
则f是E上L可积函数,且ｎ→∞∫E fnd x=∫E fd x
L有界收敛定理
设1）{fn}是E上一列可测函数, mE<+∞
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2）│fn│≤K（常数） 3）fn?f（fn→f a.e 于E）
则f是E上L可积函数,且ｌｉｍ
ｎ→∞∫Efndx=∫E fdx
T-2(Levi)设{fn}是E上一列非负可测函数, fn ≤fn?1
则ｌｉｍｎ→∞∫E fｌｉｍ
ndx=∫E
ｎ→∞ fndx
T-3设{fn}是E上一列非负可测函数,则 ∫??E?fnndx=?∫Efndx (逐项积分定理)
n?1n?1T-4(积分的可数可加性)f在可测集E ?Eｑ 上的积分确定,且E=∪∞Ei 其中Ei为互不交的可测集, 则 ∫Efdx=∑∞
∫Eifdx
有界变差函数
分划:T:a=x0 ai?1有限闭区间上满足Lipschtz条件的f是有界变差 有限闭区间上单调有限函数是有界变差 Vb（f）=│f（b）-f（a）│ aT-2性质：1）Vbc(f)?V(f)?Vb（f）可加性 aac 2）f在[a,b]上是有界变差?f有界 3）f，g有界变差?f±g，fg有界变差 T-3（Jordan分解）f ?V[a，b] ?f可分解为两个有限增函数之差 b有界变差函数不连续点至多可列个，f?V[a，b]，V（f）=0=>f=const aT-4(Lebesgue)设f ?V[a，b],则 9 1) 在[a，b]上几乎处处存在导数f'(x) 2) f'(x)在[a，b]上可积 ｂ 3) 若f是增函数,有∫ａ f'(x)dx≤f(b)-f(a) 不定积分 定义1:设f在[a，b]上L可积, f?L[a，b] ∫[a,x] fdx称为f在[a，b]上的不定积分 定义2:设F(x) 是[a，b]上的有界函数,?ε>0 ，?δ>0 [ai,bi]不交, 只要?( bi- ai)< δ 就有?│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f为[a，b]上的绝对连续 i?1i?1nn函数(全连续函数) 定理1：f ?[a，b] F（x）=∫[a,x] fdx+C为绝对连续函数 绝对连续?一致连续且有界变差 f满足Lipschtz条件?f全连续 T2：F（x）为[a，b]上绝对连续函数，F'（x）=0 a.e于[a，b] 则F（x）=const T3: f ?L[a，b], 绝对连续函数F（x） ,使 F'（x）= f（x）a.e于[a，b](只需取F（x）=∫[a,x] fdx) T4: f 是[a，b]上绝对连续函数,则几乎处处有定义的F'（x）在 [a，b]上可积, 且 F（x）= F（a）+ ∫[a,x] fdx 即F（x）总是[a，b]上可积函数的不定积分. F是[a，b]上绝对连续函数?F是一可积函数的不定积分 对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数) T5:(分部积分) f 在[a，b]上绝对连续,λ(x)在[a，b]上可积 x 且 g(x)-g(a)=?λ(x)dx 则有 aｂｂ ∫ｂ（x）λ(x)dx= （x）λ(x)│ffａａ-∫ａf'（x）λ(x)dx 补充：（见南京大学教材）f ? V[a，b]，则 f（x）=φ（x）+r（x）+s（x） 10