定理:设B是Banach空间E上的线性有界算子,当??σ(B)? ρ(B)时, ?必是近似谱点. 而且此时或?是特征值,或者(?I-B)-1是无界算子.
T-1:T∈?(X→X), ‖T‖＜1,则1∈ρ(T),这时I-T有定义,在全空间上的有界逆算子 (I-T)=?Tn=I+T+T2+…… 这里级数按?(X→X)范数收敛
-1
1?T-2 (谱集的闭性) T∈? (X→X),则ρ(T)是开集, σ(T)是闭集.
T-3: T∈?(X→X),则σ(T)是有界闭集,当λ∈σ(T)时,有∣λ∣﹤‖T‖.由此知ρ(T)非空.
紧集和全连续算子
定义1: (紧集和相对紧集)设以量空间,M是X 中子集,如果对M中任意点列{xn}
∞
1都存
在子列{xnk}∞ 1收敛于M中的元素xo,则称M是紧集,如果X中子集N的闭包N 是紧集,则称N是相对紧集.
定义2(全连续算子)设X和Y是线性赋范空间,T是X 到Y的线性算子,如果对任何有界算子集M,TM都是Y中相对紧集,则称T为全连续算子,亦称紧算子.
T-1:设{Tn}∞ 1是X 到Y上的全连续算子列,Y是Banach空间,且‖Tn-T‖→0,则T也是全连续算子.
自伴算子的谱理论
T-1:(D.Hilbert)在可分的Hilbert空间上任何全连续的自伴算子,一定具有以特征向量组成的完全直交系. ( 证明用了八个引理)
引理1:如果‖e‖=1 A为自伴算子,则 ‖Ae‖2≤‖A2e‖ 当且仅当e是A2的特征向量(相应于特征值λ=‖Ae‖2)时,等号成立
引理2:全连续自伴算子具有极大向量.
引理3:设eo是自伴算子A的极大向量,则eo是A2的特征向量(具特征值‖A‖2) 引理4:若A2有特征值M2,则A有特征值M或-M.
推论1:A全连续自伴,则‖A‖或-‖A‖中必有一为A的特征值. 引理5:自伴算子A的相应于不同的特征值的特征向量彼此直交.
引理6:A是全连续算子,δ是任意的正数,考察绝对值于δ的特征值,则A的与这些特征值相应的所有就范直交特征向量系只会有有限个向量.
推论2:全连续算子A的相应于非零特征值λ的就范直交特征向量至多为有限个. 引理7:A是自伴算子,H?是A的不变子空间,则H?的正交补空间H??也是A的不变子空
26
间.
引理8:设H是Hilbert空间,A是全连续自伴算子,对任何的x∈H,可写成 x=x′+x?=?ξkφk+x? φk是A的特征向量(相应特征值非零)且Ax?=0
1?T-2:H上全连续自伴算子A的非零谱点都是特征值.若H是无限维空间,那么0∈σ(A). 定理（Riesz-Szauder）,设Ｅ是Banach空间，Ａ是Ｅ上全连续算子。那么１、当Ｅ是无限维空间时，０必为Ａ的谱点；
２、全连续算子的非零谱点必是特征值；
３、当λ≠0,且是Ａ的特征值时,与λ相应的特征向量空间必是有限维的；
４、设λ１，λ２ …λn是Ａ的不同特征值，x1,x2, …xn是相应的特征向量，那么，x1,x2, …xn线性无关；且相互正交;
５、σ(Ａ)的极限点只可能是０（因而σ(Ａ)是有限集或可列集）。 定理:(Ｂ.И.Ломоносов 1974发表)设Ｅ是复Banach空间,Ｂ∈?(Ｅ→Ｅ).
B≠αI(α是常数).如果有一个非零的全连续算子A与B可交换,那么B必有非平凡的超不变闭子空间.
系1: 设Ｅ是无限复Ｂanach空间,Ｂ≠0,且是全连续的,B必有非平凡的超不变闭子空间,因而B有非平凡的不变闭子空间.
系2: 设Ｅ是无限复Ｂanach空间,Ｂ∈?（Ｅ→Ｅ）,如果存在多项式p(t),使p(B)为非零的全连续算子,那么B必有非平凡的超不变闭子空间.(见复旦)
投影算子补充（见复旦下）
定义1：L是H中任意取定闭子空间，任意的x∈H，Px是x在L上的投影，记为P或PL P的性质：（1）P线性有界算子；（2）P是H空间的投影算子，P把H投到PH上； （3）P的范数是0或1，当L≠{0}时，║P║=1；（4）PLx=x ? x∈L PLx=0 ? x⊥L 定理1：P是H空间中线性有界算子，P是投影算子?P=P*=P2=（Px，x） ?║Px║2定理2：PL、PM是投影算子，L⊥M?PLPM=0
PL+PM是投影算子? PLPM=0 且当PL+PM是投影算子时，它就是PL⊕M 定义2：PQ=0称投影算子P和Q直交，记为P⊥Q
定理3：Pn是H空间中一列两两直交的投影算子，则必有投影算子P，使对任意x∈H ， 有： Px=∞∑Pix
定义3：设{Ln}是H空间中一列两两相互直交的闭线性子空间，作
∞ L={ ∞∑xi∣xi∈Li， ∑‖xi‖<∞}
称L为{Ln}的直交和，记为L=⊕Li P⊕Li=∞∑Pli（级数按算子强收敛）
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定理4：PL PM为投影算子? PL PM = PM PL ，且PL PM为投影算子时，它就是在L∩M上的投影算子。
定义4：A和B是H空间上自共轭算子，如果对任何的x∈H都成立不等式 （Ax，x）≤（Bx，x） 就称A小于B， 记为A≤B或B≥A
定理5：PL、PM是H 空间两投影算子，下列命题等价：PL≥PM?‖PL‖≥‖PM‖
? L ?M ? PL PM = PM ? PM PL =PM 定义5：M在L中的直交补 L?M={x│x∈L且x⊥M}=L∩M⊥
定理6：PL –PM是投影算子? L ?M，且当PL –PM是投影算子时，PL –PM=PL?M 系1：I- PL是在L⊥上的投影算子
系2：PL PM成为投影算子?（L?（L∩M））⊥（M?（L∩M））
系3：PL 、PM为投影算子， PL PM = PM PL PL +PM- PL PM是在（L?（L∩M））⊕M上的投影算子。
定理7：A是H上的线性有界算子，M是H的闭线性子空间，M是A的不变子空间
? APM=PMAPM 定义6：M及M⊥=H?M都是A的不变子空间，称M是A的约化子空间,简称M约化A。 系1：M约化A?APM=PMA?M同时是A和A*的不变子空间，特别地，A自共轭时，A的不变子空间必定约化A。
谱系定义：设H是H空间，{Eλ}是以λ∈(-∞，+∞)为参数的一族投影算子，如果满足： ⅰ）单调性：对任何两个实数λ、μ，当λ>μ时，Eλ>Eμ ； ⅱ）右连续性：对任何λo∈（-∞，+∞）Eλo+0= Eλo ；
ｌｉｍ
ⅲ）（强）ｌｉｍ Eλ=0 （强）λ→－∞λ→＋∞ Eλ=I
称{ Eλ}是一个谱系。 注:显然,当λ≥μ时，Eλ≥Eμ 此时有EλEμ=EμEλ=Eμ 另外,若λ
?对任何x∈H，函数Fx（λ）=（Eλx ，x）满足： ⅰ）Fx单调不减。即λ>μ时，Fx（λ）≥Fx（μ） ⅱ）Fx是右连续函数；
ｌｉｍ
ⅲ）ｌｉｍ Fx（λ）=0 λ→－∞λ→＋∞ Fx（λ）=‖x‖2
酉算子的谱分解理论
有限维空间中，U=??jPj ?Pj=I Pj为互相直交的投影算子 │?j│=1
j?1n记?j为eiθJ,由｛Ｐj｝ 及｛θJ｝可以作一个谱系Ｅλ，这个谱系是[0，2?]上的谱系，将其写成积分形式 Ｕ＝?ei?dEλ
T-1：U是复Hilbert空间H到它自身的酉算子，那么必有H 中的谱系
2?{Eθ│θ?[0，2?]}，满足E0=0，并使 U=?edE?
0i? 28
说明：C2?={f│f?[0，2?]，f（0）=f（2π）}是Banach空间C[0，1]的闭线性子空间，且‖f‖=max│f│ T2π表示三角多项式全体，T2π是C2π中的线性子空间，且
t?[0，2?]T2π在C2π中稠密，Eθ称为U算子的谱系。
系1：若复数ξ使│ξ│≠1，则ξ是酉算子U的正则点。
系2：数eiθ0 (0<θ0<2π)是酉算子U的正则点???>0使U的谱系Eθ在[θ0-δ,θ0+δ]中是常算子(即Eθ在(θ0-δ,θ0+δ）中取值与θ无关）.1为U的正则值???>0使当θ?(0,δ)时,Eθ=0,当θ?(2π-δ,2π）时，Eθ=I
系3：数eiθ0 （0<θ0≤2π）是酉算子U的特征值 ?Eθ0≠Eθ0-0 系4：U是复Hilbert空间中酉算子，{E0，0≤θ≤2π}是U的谱系，设
([0,2π],B∩[0,2π],E)是由谱{E0}决定的谱测度，那么对于任何与U可交换的线性有界算子A，E0以及E（M）（M?B∩[0,2π]）都与A可交换。
复Hilbert空间H中酉算子U的谱σ（U）是平面上单位园周上一个闭集，令Bσ（U）表示σ(U)中的（平面）Borel集全体。 T-2：（酉算子的谱分解定理）设U 是Hilbert空间H中酉算子，那么，必有（σ(U),B）上唯一的谱测度F，使得 U=?λdF（λ） σ（U）
?(U)且F 有如下性质：对?M? Bσ（U）及H中任何一个与U可换的线性有界算子A，F（M）与A可换。
自共轭算子的谱分解（见复旦《Hilbert空间的几何学》）
引理1：设H是Hilbert空间，A是H中的自共轭算子，那么算子A±iI的逆算子
（A±iI）-1存在，而且（A±iI）-1是全空间定义的线性有界算子。 定义： 设A是Hilbert空间H中的自共轭算子，称算子 U=（A-iI）（A+ iI）-1 是A的Cayley 变换。
定理： Hilbert空间H中的自共轭算子A的Cayley 变换U是H上的酉算子，1不是U的特征值，而且
A=i(I+U)(I-U)-1 事实上由A自伴,令U=e
系：定理中的A是有界自共轭算子时，1是U的正则点。
iA
则U为酉算子
引理：设A是Hilbert空间H中的自共轭算子。U是A的Cayley 变换，那么在映 照
L：w=
(z?i)之下，ζ（A）映照成： σ（U）-{1} (z?i) 系：H中自共轭算子的谱点在实轴上。 定理：（自共轭算子的谱分解定理）设H是Hilbert空间，A是以?（A）为定义域的自共轭算子，那么必有H中的谱系{Eλ│λ∈（-∞，∞）}，使得 A=????λdEλ
证明过程，作A的Cayley 变换得到U，再根据酉算子U的谱分解定理即得。U在
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[0，2π]中的谱系Eθ，作（0，2π）到（-∞，∞）中的映照θ→λ=-ctg=i这个映照作谱系如下：Fλ= Eθ
， λ
?21?e1?ei?i? 利用
=-ctg?2
定理：设A是H中自共轭算子，那么，由A所决定的谱测度（R1，B1，F）集中在ζ（A）上，即F（ζ（A））=I，而且F不能集中在比ζ（A）更小的闭集上。
系1：A是H中有界自共轭算子，则：
s u pλ = sup (Ax,x)
λ∈ζ(A) ║x║=1
infλ = inf (Ax,x)
λ∈ζ(A) ║x║=1
系2：设A是复Hilbert空间H中任何一有界自共轭算子。（ζ（A）,Bζ（A）,F）是A所决定的谱测度空间.设B是任一与A可交换的线性有界算子,那么对任何M ∈Bζ（A）,B与F(M)可交换.
系3:设H是复的Hilbert空间,A是?(A)→H的自共轭算子,F是A所决定的谱测度.令?(ζ（A）)为ζ（A）上的有界Baire函数全体,对每个f∈?(ζ（A）),作线性有界算子
f(A)=∫ζ（A） f(λ)dF(λ) 那么映照f?f(A)有如下性质:
i)Hermite性: －ｆ(A)=(f(A)) *, 特别当f是实函数时,f(A)是自共轭的; ii)线性:设α,β是数,f,g∈?(ζ（A）),则 (αf+βg)(A)=αf(A)+βg(A)
iii)可乘性:设f,g∈?(ζ（A）),则(fg)(A)=f(A)g(A) 映照f?f(A)为算子演算. 定义:设X是线性赋范空间,A是? (A)СX到X中的线性算子.如果在?(A)中有向量
ｎ
x0? ?(A),使得{A x0∣n=0,1,2,…}张成的闭线性子空间就是X,那么称x0是A的生成元.
引理:设H是复Hilbert空间.A是H中的有界自共轭算子,它有生成元x0.那么必有 (ζ（A）,B1∩ζ（A）)上的全有限测度μ,又有H到L2(μ)的酉算子U使得?=UAU-1是 L2(μ)中如下的算子:当f ∈L2(μ)时,
(?f)(t)=tf(t) 而且U x0 =1.
函数空间L2(μ)中的乘法算子?就称为H中自共轭算子的函数模型.
引理:设H是可析复Hilbert空间,A是H中有界自共轭算子，那么必有Ａ的有限个或可列个互相直交的约化子空间Ｈn，使得Ｈ＝⊕ｎＨn，而且每个Ｈn上有生成元． 定理:设H是可析复Hilbert空间,A是H中的有界自共轭算子,那么必有有限个或可列个测度空间(Xn,BXn,μn),其中每个Xn是ζ（A）中的闭集, BXn是Xn中Borel集全体,并
-1⊕L2( Xn,BXn,μn)中如2
有H到直交和⊕ L( Xn,BXn,μn)上的酉算子U,使得?=UAU是ｎｎ
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