若?是X 的子空间Z上的实线性泛函，且被p（x）控制，即满足
?（x）≤p（x）， x∈Z，
则存在X上的实线性泛函?，使当x∈Z时，有?（x）= ?（x），并且在整个空间X上仍被p（x）控制，?（x）≤p（x）， x∈X
可以证明在全空间上定义的实线性泛函?，使?是f的延拓，且对一切的x∈X有?（x）≤ p（x）
设?是满足下列三个条件的实线性泛函g全体： i g的定义域D（g）是X的线性子空间。
ii g是f的延拓，即D(g)?Z，且当x∈Z时，成立g（x）=f（x） iii 在D(g)上g被p（x）控制，即对一切x∈D(g)，有g≤p 。
在?中规定顺序如下：若g1，g2∈?，而g1，是g2的延拓（即D（g1）? D（g2），并且当x∈D（g2）时，g1（x）=g2（x）），就规定 g2 定理2：设X是实或复的线性空间，p（x）是X上次线性泛函，?（x）是定义在子空间上Z上的实或复的线性泛函，且满足 ∣?（x）∣≤p（x） x∈Z 则存在X上线性泛函?，它是?的延拓，且满足 ∣?（x）∣≤p（x） x∈X 定理3：设f是赋范线性空间X的子空间Z上的线性连续泛函，则必存在X上线性连续泛函?，它是f的保范延拓，即当x∈Z时，有 ?（x）=f（x） 并且‖?‖X=‖f‖Z 定理4：设X是线性赋范空间，x0∈X，x0≠0，则必存在X上的线性有界泛函 f（x），使得‖f‖=1，并且f（x0）= ‖x0‖ 推论1：设X是赋范线性空间，x∈X，若对X 上所有线性连续泛函f，均有 f（x）=0， 则必有 x=0 C[a，b]的共轭空间 定理（Riesz表示定理）C[a，b]上每一个线性连续泛函F都可以表示为 F（f）=∫ｂ， f∈C[a，b] ａf（t）dg（t） 其中g（t）是[a，b]上囿变函数，并且‖F‖=V（g） ab注：定理中得出的g（t）不一定唯一。但如果规定g（t）是正规化的囿变函数，即需要满足g（a）=0且g（t）右连续，那么g（t）可由F唯一地决定。 共轭算子 21 × 定理1：线性有界算子T的共轭算子T×也是线性有界算子，并且‖T ‖=‖T‖ 定义1：设M是度量空间X中的子集，如果M不在X的任何半径不为零的开球中稠密，则称M是X中的无处稠密集或疏朗集。 定义2：设X是度量空间，M是X中子集，若M是X 中有限或可列个疏朗集的并集，则称M是第一纲集，不是第一纲的集称为第二纲集。 定理1：（Baire纲定理）若X是非空的完备度量空间，则X是第二纲集。 注：逆不成立，布尔巴基（Bourbaki）在1955年曾举出反例，一个不完备的度量空间仍是第二纲集。 定理2：（一致有界定理或共鸣定理）设X是Banach空间，Y是赋范空间，?(X→Y)表示X到Y中的线性有界算子全体，Tn∈?(X→Y)，n=1，2，...若对每一个x∈X, { ‖Tnx‖}有界,即‖Tnx‖≤Cx,n=1,2,...,这里Cx是一与x有关的实数,那么, { Tn}一致有界,即存在与x无关的实数C,使用权对一切自然数n,成立 ‖Tn‖≤C 定理3:设{fn}是Banach空间X上的一列泛函,如果{fn}在X的每一点处有界,则{fn}一致有界. 定理4:存在一个实值连续函数,它的富氏级数在给定的to处是发散的. (共鸣定理在古典分析上的应用) 强收敛 弱收敛 和一致收敛 定义 :设X是赋范线性空间, xn∈X,n=1,2,...,如果存在x∈X,使‖xn-x‖→0,则称点列{ xn }∞ 1强收敛于x,如果对任意的f∈Xˊ,都有f(xn) →f(x) 则称点列弱收敛于x. 定义:设X 是线性赋范空间,Xˊ是X的共轭空间,泛函列fn∈Xˊ(n=1,2,…)如果存在f ∈Xˊ,使得 (1) ‖fn-f‖→0,则称{ fn } ∞ 1强收敛 于 f * (2) 对任意的x∈X,都有∣fn(x)-f(x)∣→0,则称{ fn }∞ 1弱收敛 于f; (3) 若对任意的F∈(Xˊ) ˊ,都有F(fn)→F(f)则称{ fn }∞ 1弱收敛 于f . 注:弱*收敛 和弱收敛 只在自反的空间中等价 定义:设X 和Y是两个线性赋范空间,Tn∈?(X→Y),若存在T∈?(X→Y)使得 (1) ‖Tn-T‖→0,则称算子列{Tn}∞ 1一致收敛于T. 22 (2) 对任意的x∈X, ‖Tnx-Tx‖→0,则称Tn强收敛于T. (3) 对任意的x∈X和任意的f∈Yˊ,f(Tnx) →f(Tx),则称Tn弱收敛 于T. T-1:设Tn是Banach空间X到Banach空间Y中的线性有界算子序列,则{Tn}强收敛? (1){ ‖Tn‖} 有界; (2)对X中一稠密子集D中的x,{ Tn x}∞ 1收敛 注:将T-1用于泛函情形,可知Banach空间X上任一列泛函{fn},如弱收敛,必定有界;反之,有界泛函 {fn}若在X的一个稠密子集上收敛,则必弱*收敛. 逆算子定理(开映照定理) T-1:设X 和Y都有是Banach空间,如果T是从X到Y上的一对一线性有界算子,则T的逆算子T-1也是线性有界算子. 引理:设T是Banach空间X到Banach空间Y上的线性有界算子,则X 中单位球 Bo=B(0,1)={x∣‖x‖≤1} 的像TBo包含一个以零点为心的球. 定义: 设X和Y是两个度量空间,f是X到Y中的映照,若f将X 中的开集映成Y中的一开集,则称f是开映照. 定义:设X和Y是两个赋范空间,T是X 的子空间D(T)到Y中的线性算子, 称X×Y中的集合 G(T)={(x,y) ∣x∈D(T),y=Tx}为算子T的图像. 在X×Y中,定义‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖,易知X×Y按此范数成线性赋范空间,如果G(T)是X中的闭集,则称T是闭算子. 定理:(闭图像定理)设X和Y是Banach空间,T是D(T) ?X到Y上闭线性算子,如果 D(T)是闭的,则T是有界算子. 注:定理表明,一个闭算子,若无界,其定义域一定不是闭集;若闭算子T的定义域是闭集,那么,T是有界算子.Banach空间上的无界算子,其定义域至多只能在X中稠密,而绝不是整个X.如微分算子的定义域是C[a,b]中稠密子集C1[a,b],而不能是C[a,b] 第十章 线性算子的谱理论 要求：了解有关谱的的概念和基本理论，掌握全连续算子的谱分解理论，了解酉算子、共轭算子、正规算子的谱分解理论，并在此基础上具备进一步学习和拓展知识的能力。 线性算子的谱理论 定义1:设X是赋范空间,T∈?(X→X),若T-1存在,且是定义在整个X上的有界线性算子,则称T是X上的正则算子. 正则算子性质: 23 ⅰ T正则?存在有界算子B∈?(X→X),使得 BT=TB=I I为恒等算子 ⅱ A,B正则 ? T=AB也是正则算子,且(AB)-1=B-1A-1 定义2:设T∈?(X→X),λ是复数,若(T-λI)正则,称λ是算子T的正则点;T的正则点的全体称为T的正则集或豫解集,记为ρ(T); 不是正则点的复数称为T的谱点;全体构成T的谱,记为σ(T). 定义3:(谱的分类)设λ∈σ(T)即T-λI不存在有界逆算子,可分三种情况: (1) 如果T-λI不是一对一的,此时存在x∈X,x≠0,使(T-λI)x=0 即Tx=λx,此时称λ是算子T的特征值,x称为相应于特征值λ的特征向量. T的特征值的全体称为T的点谱,记为σρ(T); (2) (T-λI)是一对一的,但值域不充满全空间,即?(T-λI)≠E ?(T-λI)=E (3) (T-λI)是X到X上的一对一算子,但(T-λI)-1不是有界的. ?(T-λI)≠E (2)类谱点称为T的连续谱,记为σC(T),(3)类谱点称为T的剩余谱,记作σr(T)。 由逆算子定理可知,X是Banach空间时,(3)不出现.本节均指Banach空间. 举例1:乘法算子：（Tx）（t）=tx（t）设λ?[0，1], 在C[0，1]上定义算子 Rλ： （Rλ）x（t）=x（t）/（λ-t） Rλ是定义在C[0，1]上，且值域包含在C[0，1]中的线性有界算子。 [Rλ（?I-T）x]（t）=[（?I-t）Rλx]（t）=x（t）??是T的正则值。 当?∈[0，1]，t=?时，（?-t）x（t）=0，当x跑遍C[0，1]时， （?-t）x（t）的全体组成的集在C[0，1]中不稠密。不难证明?非特征值，综上， ?∈[0，1]，?属于剩余谱。 t例2.复C[0，1]中伏泰拉积分算子：（Tx）（t）=?x（s）ds 011当?≠0时，（?I-T）x（t）=y（t）等价于x（t）=y（t）+ ??上方程存在唯一解，故?I-T存在逆算子，且有界。若?=0， ?t0x（s）ds 24 由（Tx）（t）=?x（s）ds可知T的值域是满足y（0）=0的一切连续可微函数 0ty（t）组成的集，它在C[0，1]中不稠密，?=0不能为特征值，故有?=0属于剩余谱 。 1 例3. 在复空间L [0，1]（1≤p<+∞）中定义算子: （Tx）（t）=tx（t）+?x(s)ds p tT是值域包含在Lp [0，1]中的有界线性算子,当 ?∈(0, 1]时,可以证明区间[0, ?]的 特征函数x? (t)=10?t?(0,?] 是算子T对应于?的特征元. t?(?,1]其实,当0≤t≤?时,(Tx?)(t)=tx?(t)+∫1 tx? (s)ds=? 当? 当??[0,1]时,可以证明方程 (?I-T)x=0 只有零解 ,即算子?I-T是一一对应的.可以验证 ?I-T有有界逆算子(?I-T)-1,即?是T的正则值. ?=0可自行讨论. 例4.?0 表示?1中只有有限座标不为零的元素全体.即当x? ?0时,x=(x1,x2,?xn,0,0?) ?0上范数∥x∥=∑∣xi∣ ?0上定义算子Bx=( x1,x2/2,?xn/n,0,0?) 则B是?0上一对一的线性算子. ?=0不是特征值,易知B-1x=( x1,2x2,?nxn,0,0?) 显然B-1定义在整个?0上,但是无界算子.所以, ?=0属于剩余谱. 补充(复旦下) 定义:B是线性赋范空间上线性有界算子,称r(B)=???max(B)∣?∣为B的 谱半径.有估计式， sup∣?∣≤lim√∥B∥ r(B)≤∥B∥ 定理: (Гельфаид)设B 是Banach空间的线性有界算子.则 r(B)= ???(B)∣?∣= lim maxnn B （??σ(B)） n定理:非零的Banach空间E上的任何有界线性算子B必有谱点. 定义:B是线性赋范空间E到E上的线性有界算子,如果 limnBn=0,则称B为广义幂零 算子. 定义:设B 是赋范线性空间E上线性有界算子, ?是一复数,如果存在一列向量xn?E 使(?I-B) xn→0,则称?是B的近似谱点. 25