φ（x）为全连续；r?（x）为奇异函数；s（x）为跳跃函数
f（x）=p（x）-n（x）+f（a）
p（x）为正变分；n（x）为负变分。
第六章 度量空间和赋范线性空间 基本要求：
1、 熟练掌握度量空间的定义，理解一些度量空间的例子。 2、 掌握可分空间的概念，弄清几个常见空间的可分性。 3、 了解连续映照的概念及等价条件。
4、 掌握完备度量空间、柯西点列的概念，弄清一些常见空间的完备性。 5、 掌握范数、线性赋范空间的有关概念，一些常见的空间范数定义。 6、 掌握巴拿赫空间的定义及一些常见的例子。 7、 了解有限维线性赋范空间的主要性质。
度量空间
1、距离定义：1） d（x，y）≥0 当 x=y 时，d（x，y）=0
2）d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y） 三点不等式 等价定义，距离公理：1）d（x，y）≥0非负性；
2）d（x，y）= d（x，y）对称性；
3）d（x，y）≤ d（x，z）+ d（z，y）三点不等式
ｎ? d（x，y）=ｎ│ξi-ηi│ Rｎ] 中常见的三种距离：d（x，y）=[Σ（ξi-ηi）2Σ d（x，y）=max│ξi-ηi│
2、可分性： 定义：X是度量空间，N和M是X的两个子集，如果N?M,N?M，称集M在集N中稠密，当N=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可列的稠密
子集，则称X为可分空间。
Rｎ 是可分空间：坐标为有理点的全体是可列稠密子集。
离散距离空间X可分充要条件X是可列集。事实上X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身自己。
∞为不可分，按d（x，y）=sup│ξi-ηi│
反例，l 3、连续映照
定义：设X=（X，d） Y=（Y，d）是两个度量空间，T是X到Y中的映照，xο?X，如果对任意的ε>0，存在δ>0 使d（x，xο）<δ时，d（Tx，Txο）<ε则称T在xο连续
用邻域描述：对Txο的ε-邻域N，存在xο的某个δ—邻域 Nο，使TNο?N
T-1：设T是度量空间X=（X，d）到Y=（Y，d）中映照，T在xο连续? 当xn→xο时，有Txn→Txο
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定义2：T在X的每一点连续，则称T是X上的连续映照，称集合{x∣x∈X，Tx?M}
MсY 为集合M在映照T下的像，简记为T－１
M
T-2：度量空间X到Y中的映照T是X上连续映照?Y中任意开集M的原像T－１
M是X
－１
中的开集（利用T－１，可将定理中开集改成闭集） （CM）=C （T M）
∞ 4、柯西点列 定义 ：X=（X，d）是度量空间，{xn} ｎ＝１是Ｘ中的点列，对?ε>0
∞
，当ｎ，ｍ>Ｎ 时，必有ｄ（xn，xｍ）<ε则称{xn} ?Ｎ（ε）ｎ＝１是Ｘ中的柯西
（Cauchy）点列或基本点列，如果（X，d）中每一个柯西点列都收敛，则称（X，d）
是完备的度量空间．
∞
有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，而l 是完备的度量空间．
度量空间中任一收敛点列是柯西点列；反之，度量空间的柯西点列未必收敛． Ｔ－１：完备度量空间的子空间Ｍ，是完备空间的 <=> Ｍ是Ｘ中的闭子空间
Ｐ［ａ，ｂ］（［ａ，ｂ］上实系数多项式全体作为Ｃ［ａ，ｂ］的子空间）是不完备的度量空间． ５、等距同构
～ ～上的保距映照
定义：设（X，d），（～，）是两个度量空间，如果存在从X到ＸｄＸ～ ～上的等距同构映照 T，则称（X，d）与（～，）等距同构，此时T称为ＸｄＸ
T：（度量空间完备化定理）设（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间（～Ｘ，
～ ～～ ～
ｄ） 使（X，d）与（Ｘ，ｄ）的某个稠密子空间W等距同构，而且Ｘ在等距同构
?）也是一个完备的度量空间，且X与X?，d?的某个稠密子空间等下是唯一的。即若（X～ ??距同构，则（～Ｘ，ｄ）与（X，d）等距同构。
～～ ，
T′：设X=（X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间～Ｘ=（Ｘ，ｄ）～
使X为Ｘ的稠密子空间 6、压缩映照
定义：X是度量空间，T是X到X的映照，如果存在一个数α，0<α<1，使对所有的x，y?X 成立d（Tx，Ty）≤α d（x，y） 则称T为压缩映照
T-1（压缩映照定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映照，那么T有且仅有一个不动点（方程Tx=x，有且只有一个解）
注：本定理在方程的解的存在性和唯一性证明中起重要作用。
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T-2设f(x,y)在带状域：a≤x≤b -∞?y?+∞ 中处处连续，且处处有关于y的偏导
fy?(x,y)，如果还存在常数m和M，满足
0＜m＜ fy?(x,y)?M， m?M 则方程f(x,y)=0在区间[a，b]上必有唯一的连续函数y=φ（x）作为解： f（x，φ（x））≡0 x? [a，b]
证明过程作映照A：Aφ=φ-7、线性空间
X是线性空间，Y是X的非空子集，任意x，y?Y及任意α?R =>x+y?Y αx?Y Y是X的子空间，X和{0}是平凡子空间。 线性相关，无关概念
M是X的非空子集，M中任意有限个向量线性组合全体记为spanM称为由M张成的包 定义：X是线性空间，M是X中线性无关子集，若spanM=X，则称M的基数为X的维数，记为dimX，M称为X的一组基，M的基数是有限时，则称为有限维线性空间，如果X只含有零元素，则称X 为0维线性空间。 8、线性赋范空间
定义：设X为实（复）线性空间，如果对每一个向量x?X，有一个确定的实数，记为 ║x║ 与之对应，并且满足：
i ║x║≥0 且║x║=0 <=>x=0
ii ║αx║=α║x║其中α为任意实（复）数 iii║x+y║≤║x║+║y║ x，y?X
则称║x║为向量x的范数，称X按范数║x║成为线性赋范空间
∞
{xn} ｎ＝１是Ｘ中的点列，如果存在x?X，使║xn -x║→0 （n→∞） ∞ ｌｉｍ则称{xn} 依范数收敛于x，记为xn →x（n→∞）或ｎ＝１ｎ→∞ xn= x
1） f（x，φ（x）
M令d（x，y）=║x-y║ 是由范数导出的距离，由此观之线性贱范空间实际上是一种特殊的度量空间。 若d由║·║导出，对任意的α?R，x，y?X，有： （a） d（x-y，0）= d（x，y）； （b）d（αx，0）=|α| d（x，0） 反之，X是线空间，d是距离，满足（a）和（b），那么一定可以在X上定义范数║x║ 使d是由范数导出的距离， ║x║=d（x，0）
║x║是x的连续函数，事实上，任意x，y?X，由范数条件2）和3）易证 | ║y║-║x║|≤║y-x║，所以，当║xn -x║→0时║xn║→║x║ 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（Banach Spaces） ｎ? 构成Banach空间 1） Rｎ） ║x║=（Σ|?i| 22） C[a，b] ║x║=sup|x（t）| 构成Banach空间 3） ??: ║x║=sup|?i|构成Banach空间
ｂｐ
4） Lｐ[a，b] ║║p=（∫|（x）|ff ａ dx）
1/p
构成Banach空间 p≥1
证明需用到引理1 和2
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ｑ
引理1：（H?lder不等式）设p>1，1/p+1/q=1，f? Lｐ
[a，b] g ? L [a，b]
那么f，g在[a，b]上L可积且成立： ∫ｂ
ａ|f（x）g（x）|dx≤║f║p║g║q
ｐ
引理2：（Minkowsky不等式）设p≥1，f，g? Lｐ [a，b]，那么f+g? L [a，b] 且成立：
║f+g║p≤║f║p+║g║p T-2：Lｐ
[a，b] （p≥1）是Banach空间
ｐｐ1/p
5）l ║x║=（ｎ|ξi| Σ ） 是Banach空间
T-3设X是n维线性赋范空间，（e1，e2，…en）是X的一组基,则存在常数M和Mˊ 使对一切 x=ｎΣξiei成立 ?≤M′║x║ M║x║≤(ｎ） Σ|ξi| 2
推论1:设在有限维线性空间上,定义了范数║x║和║x║1 那么必存在常数M和Mˊ 使得 M║x║≤║x║1≤M′║x║
定义2:设R是线性空间, ║x║1和║x║2是R上两个范数,如果存在正数c1,c2,使对一切x?R,成立: c1║x║2≤║x║1≤c2║x║2
则称(R, ║x║1)和(R, ║x║2)是拓扑同构的
推论2:任何有限维赋范线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构.
第七章 线性赋范空间和线性连续泛函 基本要求：
1、 理解线性算子、线性泛函的概念。
2、 掌握线性有界算子的概念和有关性质，以及二者这间的关系。 3、 了解算子的范数的概念，熟悉一些线性有界算子的例子，并知道无界算子是存在的。 4、 了解线性有界算子空间的概念和性质。
5、 掌握共轭空间的概念和性质，知道一些特殊空间的共轭空间。
算子定义：线性赋范空间X到Y的映照T被称为算子，如果Y是数域，则被称为泛函 线性算子和线性泛函 T1： 设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D(?)是X的线性子空间，T为D到Y中的映照，如果对任意的x，y ∈D ，及数α，成立： T（x+y）=Tx+Ty （1） T（αx）=αTx （2） 则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D（T），TD称为T的值域
记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，称T为实（或复）线性泛函
几种常见的线性泛函： 1、相似算子Tx=αx 当α=1时，恒等算子，零算子； 2、P[0，1]是[0，1]上的多项式全体，定义微分算子，若t0∈[0，1]，
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对?x?P[0，1]，定义f（x）=x′（t0）则f是P[0，1]上的线性泛函。 3、积分算子 x∈C[a，b] Tx（t）=∫ｔａx(?)d?
由积分线性性质知T为线性泛函，若令f(x)=∫ｂａx(?)d?则f是C[a，b]中的线性泛函 4、乘法算子 Tx（t）=tx（t） 5、Rｎ 中的线性变换是线性算子
线性有界算子 定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D（T）到Y中线性算子，如果存在常数c，使对所有x∈D（T），有：║Tx║≤c║x║，则称T是D（T）到Y中的线性有界算子，当D（T）=X时，称T为X到Y中的线性有界算子，简称为有界算子。否则，称为无界算子。
T-1：设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子，则T为有界的充要条件是T是X 上的连续算子。
T-2：设X是线性赋范空间，f是X上线性泛函，f是X上连续泛函的?f的零空间
?（f）是X中的闭子空间。
定义：T为线性赋范空间X的子空间D（T）到线性赋范空间Y中 线性算子，称 ║Tx║=s u p ║Tx║/ ║x║ 为算子T在D（T）上的范数
x≠0,x∈D（T） 引理：T是D（T）上线性有界算子，成立
║T║=s u p ║Tx║/ ║x║=║Tx║=s u p ║Tx║/ ║x║
x∈D（T）,║x║=1 x∈D（T）,║x║≤1
线性算子空间和共轭空间
X和Y是两个线性赋范空间,以?(X→Y)表示由X到Y中线性有界算子全体.当A和B属于?(X→Y)时,α是所讨论的数域中的数时,定义?(X→Y)中加法运算如下:对任意的x∈X,令
(A+B)x=Ax+Bx (αA)x=αAx
则?(X→Y)按照如上加法和数乘运算和算子范数构成线性赋范空间.
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