T:当Y是Banach空间时, ?(X→Y)也是Banach空间
一般地,设X是线性赋范空间,如果在X中定义了两个向量的乘积,并且满足
║xy║≦║x║║y║ x,y∈X
则称X为赋范代数,当X完备时,则称X为Banach代数,由T知,当X完备时, ?(X→Y)是Banach代数.
共轭空间:设X是线性赋范空间,令X′表示X上线性连续泛函全体所成的空间,称X为共轭空间.
T:任何线性赋范空间的共轭空间是Banach空间.
定义:设X和Y是两个线性赋范空间,T是X 到Y中的线性算子,并且对所有的x∈X,有 ║Tx║=║x║ 则称T是X 到Y中的保距算子，如果Ｔ又是映照到Ｙ上的，则称Ｔ是同构映照，此时称Ｘ与Ｙ同构．
第八章 内积空间和希乐伯特空间 基本要求：
1、 掌握内积空间，希乐伯特空间的概念，熟悉一些具体例子。 2、 理解内积与其诱导范数之间的关系。 3、 理解许瓦兹不等式和平行四边形法则。 4、 了解凸集的概念，掌握正交的有关概念。 5、 掌握直交补空间的定义与性质。
6、 理解投影算子的概念，掌握投影算子的性质。
内积空间和希尔伯特空间
定义：设Ｘ是复线性空间，如果对Ｘ中任何两个向量ｘ,ｙ，有一复数?ｘ，ｙ?与之对应，并且满足下列条件:
ⅰ?x,y ?≥0 ?ｘ，ｙ?=0当且仅当x=0,x∈X;
ⅱ? αｘ+βｙ,z?=α?ｘ，z?+β?ｙ,z? x y z∈X,α β∈C(复数) ⅲ?ｘ，ｙ?=?ｙ,x? x,y ∈X
则称?ｘ，ｙ?为x与y的内积,X为内积空间 内积引出的范数 ‖x‖=√?ｘ，ｘ?
引理(Schwarz不等式)设X按内积?ｘ，ｙ?成为内积空间,则对于X中任意向量x,y,成立不等式
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∣ ?ｘ，ｙ? ∣≤‖x‖‖y‖
当且仅当x与y线性相关时取等号. 易得出:范数不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
内积导出的范数‖x‖构成线性赋空间,若完备,则称Hilbert空间.
２=2（‖x‖２+‖y‖２） 满足平行四边形法则. ‖x+y‖２+‖x-y‖ （内积空间范数的特征性质）
２[a，b] l２ 是Hilbert空间，当p≠2时 l不成为内积空间 如 L p
C[a，b]按范数 ‖x‖= ｍ ａ ｘ
ａ≤ｔ≤ｂ∣x（t）∣ 不成为内积空间
极化恒等式（内积与范数关系式）（内积可用范数表示）
２+i‖x+iy‖２-i‖x-iy‖２） ﹤x，y﹥=1/4（‖x+y‖２-‖x-y‖ ２） 当X 为实内积空间时，﹤x，y﹥=1/4（‖x+y‖２-‖x-y‖ 由Schwarz不等式，立得﹤xn，yn﹥→﹤x，y﹥
定义：设X是度量空间，M是X的非空子集，x是X中一点，称yinf∈Md（x，y）为点x到M的距离，记作d（x，M）
在线性赋范空间中 d（x，M）=yinf∈M‖x-y‖
设X是线性空间，x，y是X 中的两点，称集合
{z=αx+（1-α）y；0≦α≦1} 为X中联结点x和y的线段，记为[x，y]，如果M是X 的子集，对M中任意两点x，y必有[x，y] ?M则称M为X中的凸集
定理：（极小化定理）设Ｘ是内积空间，Ｍ是Ｘ中非空凸集，并且按Ｘ中由内积导出的距离完备，那么，对每一个x?X，
存在唯一的y?M，使 ‖x-y‖= d（x，M）
推论1：设X是内积空间，M是X 的完备子空间，则对每个x?X，
存在唯一的y?M，使 ‖x-y‖= d（x，M） （应用于微方、现代控制论、逼近论） 定义：设X是内积空间，x，y是X中两向量，如果
﹤x，y﹥=0 则称垂直或正交，记为x⊥y
如果X的子集A中每个向量与子集B中每个向量正交，A⊥B
x⊥y ?‖x+y‖=‖x‖+‖y‖
2
2
2
引理1：设X是内积空间，M是X的线性子空间，x?X，若存在y?M
使‖x-y‖= d（x，M），那么x-y⊥M
定义2：直接和：Y和Z是X的子空间，对每一个x?X，存在唯一的y?Y，Z?z 使
x=y+z，则称x为y和z的直接和。y和z称为一对互补子空间。Z称为Y的代数补子空间。 易知互补子空间必线性无关。
定义3：设X 是内积空间，M是X 的子集，称集合
M⊥={x?M│x⊥M}为M在X 中直交补 M⊥是X 中闭线性子空间
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定理2：设Y是Hilbert空间的闭子空间，那么成立 X=Y+Y⊥ 直接和记作：X=Y⊕Z x=y+z，y是x在Y中的直交投影。 投影算子 Px=y 具有性质：
ⅰ①P是X到Y上的线性有界算子，且当Y≠{0}时，‖P‖=1
②PX=Y，PY=Y，PY┴=0
③P2=P P是投影算子? P=P*=P2 设X是内积空间，M是X的子集，记（M⊥）⊥=M⊥
⊥
显然有 M?M⊥⊥反之有：
引理2：设Y是Hilbert空间X的闭子空间，则成立 Y=Y⊥⊥
引理3：设M是Hilbert空间X中非空子集，则M是线性包SpanM在X中稠密的充要条件是M⊥={0}
定义4：设M是内积空间中不含零的子集，若M中向量两两直交，称M为X中直交系，又若M 中向量范数为1，则称M为X 中的就范直交系。 直交系的基本性质：
①‖x1+x2+...+xn‖2=‖x1‖2+‖x2‖2+...‖xn‖2 ②直交系M是X中线性无关子集
定义5:设X是线性赋范空间,xi, i=1,2,...是X中一列向量,α1, α2,...αn是一列数,
n 作形式级数∞∑αixi 称Sn=∑αixi 为n项部分和若存在x?X,使
Sn→x 则称级数收敛,并称x为其和,记作x=?αixi
i?1?定义6:设M为内积空间X 中就范直交系, x?X,称数集 {﹤x，e﹥│e?M}
为向量x关于就范直交系M的富里叶系数集,而称﹤x，e﹥为x关于e的Fourier系数 引理:设X是内积空间,M是X 中就范直交系,任取M中有限个向量e1,e2,...en那么: (1)
2n 2
‖x-n ∑﹤x，ei﹥ei‖=‖x‖-∑│﹤x，ei﹥│ ≥0
n
(2) ‖x-n ∑αi ei‖≥‖x-∑﹤x，ei﹥ei‖≥其中αi为任意的n个数
定理(Bassel不等式)设{ek}是内积空间X 中的有限或可列就范直交系,那么对每一个
22 x?X,成立不等式∞∑│﹤x，ei﹥│≤‖x‖
若上式等号成立,则称为Parseval等式
引理：设{ ek }为Hilbert空间X中可列就范直交系，那么成立：
∞ 2
（1）∞∑αiei收敛的充要条件是∑│αi│收敛
∞ （2）若x=∞∑αiei 则αi=﹤x，ei﹥ i=1,2,...故x=∑﹤x，ei﹥ei
(3)
对任意的x?X,级数∞∑﹤x，ei﹥ei收敛
推论1: 设{ ek }是X中可列就范直交系，则对任意的 x?X ， nlim→∞﹤x，en﹥=0 定义:设M是内积空间X的就范直交系,如果 spanM=X 则称M是X中的完全就范直交系.
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定理:设M是Hilbert空间X中就范直交系，M完全的充要条件是M┴={0} 定理:M是Hilbert空间X中完全就范直交系的充要条件是，对所有x?X,Parseval等式成立.
满足定理条件的M X中的x可展成x=∞∑﹤x，e﹥e
称为向量x关于就范直交系M的Fourier展开式. 推论2: (Cтeклов定理)M是Hilbert空间X中就范直交系,若Parseval等式在某个稠密子集N上成立,则M完全.
引理3:设{xi}是内积空间X中有限或可列个线性无关向量,那么必有X中就范直交系{e1,e2,...},使对任何正整数n,有
span{e1,e2,...en}= span{x1,x2...xn}
本定理的证明过程称为Gram-Schmidt正交化过程 定理4；每个非零Hilbert空间必有完全就范直交系。
～～
定义5：设X和Ｘ是两个内积空间，若存在X到Ｘ的映照T，使对任意的x，y∈X以及数
α，β，满足
T（αx+βy）=αTx+βTy
?Tx，Ty?=?x，y? 则称X和同构，并称T为X 到～Ｘ上的同构映照
～定理5：两个Hilbert空间X与～Ｘ同构的充要条件是X与Ｘ有相同的维数。 ｎ推论3：任何可分的Hilbert空间必和某个R 或l２同构 定理（Riesz定理）设X是Hilbert空间，f是X上线性连续泛函，那么存在唯一的z∈X，使对每一个x∈X 有
f（x）=?x，z? 并且 ‖f‖=‖z‖
对每个y∈X 令Ty=fy 其中fy为X上如下定义的泛函： fy（x）=?x，y ? ， x∈X
显然fy是X上线性连续泛函，由Riesz定理，T是X到X?上的映照，X?是X上线性连续泛函全体所成的Banach空间，又‖Ty‖=‖y‖。易看出，对任意的x，y∈X以及数α，β，成立：
T（αx+βy）= αTx+βTy （?） 事实上，对任何z∈X，有T（αx+βy）（z）=?z，αx+βy ?=αTx（z）+βTy（z） =（αTx+βTy）（z）
所以（?）成立.称满足（?）的映照T是复共轭线性映照,Ty= fy是X到X?上保范共轭线性映照,称为复共轭同构映照,若存在H空间X到Ｘ上的复共轭同构映照,则称X与Ｘ是复共轭
～
同构,此时将X当成Ｘ,当X是H空间时,X=X?,即X是自共轭的.
～
～
定理：设X和Y是两个H空间，A∈?(X→Y)，那么存在唯一的A?∈ ?(X→Y)，使对任何的x∈X，y∈Y，成立 ? Ax，y?=?x，A?y? 且‖A‖=‖A?‖
定义：设A是H空间X到H空间Y中的线性有界算子，则上定理中算子A?为A的Hilbert共轭算子，简称共轭算子。 共轭算子有下列基本性质：
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①（A+B）?=A?+B? ②（αA）?=α A? ③ （A?）?=A
④ ‖AA?‖=‖A?A‖=‖A‖ A?A=0等价于A=0 ⑤ 当X=Y时，（AB）?=B?A?
定义：T为H空间X到X中的线性有界算子，若T=T?，则称T为X上的自伴算子；若TT?=T?T，则称T为X上正常算子；若T是X到X上的一对一映照，且T?=T－１ ，则称T是X 上的酉算子。
引理：T为复内积空间X上线性有界算子，那么T=0?对一切x∈X， 成立 ? Tx，x?=0
定理：设T为复H空间X上线性有界算子，则T为自伴算子的?对一切的x∈X， ? Tx，x ? 是实数。
自伴的和与差仍为自伴，下面有：
定理：T1和T2是H空间X上两个自伴算子，则T1·T2自伴的充要条件是T1·T2=T2·T1 定理：设{Tn}是H空间X上一列自伴算子，并且ｌｉｍ ｎ→∞Tn=T，那么T仍为X上自伴算子。定理：设U及V是H空间X上两个酉算子，那么
（1）U是保范算子，即对任何x∈X，成立 ‖Ux‖= ‖x‖； （2）当X≠{0}时，‖U‖=1 （3）U－１ 是酉算子；
（4）UV是酉算子；
（5）若Un，n=1，2，…是X上一列酉算子，且Un收敛于有界算子A，则A也为酉算子。 定理：设T为复H空间上线性有界算子，那么T是酉算子?T是映照到上的保范算子。 定理：设T是复H空间X上线性有界算子，A+iB 为笛卡尔分解，则T为正常算子的?AB=BA 定理：设T为复H空间X 上线性有界算子，则T为正常算子?对?x∈X，成立 ‖T?x‖= ‖Tx‖
第九章 巴拿赫空间中的基本定理 基本要求： 1、 掌握四大定理的条件和结论，了解与其相关的内容。 2、 能进行简单的证明。
Banach spaces
令p（x）=‖f‖z‖x‖，则p（x）是在整个X上有定义的泛函，且满足 （1）p（αx）=∣α∣p（x） x∈X （2）p（x+y）≤p（x）+p（y） x，y∈X
称X上满足（1）和（2）的泛函为次线性泛函。 定理1：（Hahn-Banach泛函延拓定理）设X是实线性空间，p（x）是X上次线性泛函，
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