下的乘法算子:对任何f={f1,f2,…}∈⊕ｎ L２ ( Xn,BXn,μn) ?f= ?{ f1,f2,…}={tf1(t),tf2(t),…}
此定理中的Hilbert空间⊕ｎL２ ( Xn,BXn,μn)以及乘法算子?称为Hilbert空间H及自共轭算子A的函数模型.
定理:设H是复Hilbert空间,A是H中自共轭的全连续算子,{λn}是A的非零特征值全体，Pn是H到相应于特征值λn的特征子空间（只有有限维）的投影算子。P0=I-ΣｎPn，那么P0H必是相应于持征值为零的特征子空间，这时A的一切非零谱点都是实特征值，而且 A=Σｎλn Pn
令e（ｎ） ｋ ，k=1，2，3…mn 是PnHn中的就范直交系，那么
Σ （ｎ）（ｎ） Ax= ｎ，ｋλn（x，e ｋ ）e ｋ
（南大郑维行）定理1：T是定义在Hilbert空间H上的自伴算子，λ0是一个数，则λ0是T的正则值 ?λ0属于下列三种情况之一： （1） λ0是非实数; （2） λ0在[m,M]之外;
（3） 如果λ0?[m,M]，则存在某个区间[α,β],适合α<λ0<β，且Eλ在[α,β]上取常值，即 Eλ＝Eα（α≤λ≤β）
推论1：自伴算子T的谱σ（T）是实轴上的有界闭集。 推论2：自伴算子T的上下界M,m都属于σ（T） 定理2：T为自伴算子，则：
（1） λ0是T的特征值?λ0是Eλ的间断点，即Eλ0 ≠Eλ0+0 当λ0是T的特征值时，T
对应于λ0的特征向量空间是Eλ0 -Eλ0+0的值域； （2） T没有剩余谱；
（3） λ0属于T的连续谱的? Eλ在λ0处连续，且满足λ1<λ0<λ2是的任何两个实数λ1，
λ2，有Eλ1 ≠Eλ2 T1、T2 见南京大学郑维行等著
正常算子的谱分解
定义：H是复Hilbert空间，Ｎ是Ｈ上的线性有界算子，如果ＮＮ*＝Ｎ*Ｎ，称Ｎ为正常算子。
N正常?║Nx║=║N*x║?N=N1+iN2 N1、N2自伴可换?U、R（R≥0）可换且有N=UR N正常?║N*N║=║N2║=║N║2
? ║N
ｎ
ｎ
║=║N║
? rζ(N)= ║N║ 由谱半径公式易得， 见胡适耕教材。 以下定理见美国教材。机械工业出版社
T：T为正常算子.i. T自伴?ζ（T）位于实轴；
ii. T为酉算?ζ（T）位于单位圆上。
例：设Ｚ是复平面上的一个有界闭集，Ｂz 是Z中的Borel集全体，μ是（Z，Bz）上的测度，作L2( Z,BZ,μ)上的乘法算子N如下：当f∈L2( Z,BZ,μ)时 （Nf）（z）=zf（z） z∈Z
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显然N是有界算子。容易验证，N*也是乘法算子： （N*f）（z）=－ｚf（z） f∈L( Z,BZ,μ)
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当f∈L2( Z,BZ,μ)时，（NN*f）（z）=│z│2f（z）=（N*Nf）（z）
所以N是正常算子。容易验证当μ不能集中在比z更小的闭集上时，ζ（N）=Z。还可以验证：当测度μ不能集中在实轴上时，N不是自共轭算子。当μ不能集中在单位圆周上时，N不是酉算子。
A?A*A?A* 对于复Hilbert空间H上任一线性有界算子A，作AR= AI=
22 显然它们都是自共轭算子，分别称为A的实部和虚部。
引理1：N是复Hilbert空间的线性有界算子，N成为正常算子的充要条件是N的实部和虚部可交换。
引理2：复Hilbert空间中正常算子的实部和虚部分别决定的两个谱测度是可以交换的。 定理：（正常算子的谱分解）设H是复Hilbert空间，N是H中的正常算子，那么必有（ζ（N）, Bζ（N））上的谱测度E使得
N=∫ ζ（Ｎ）zdE（z）
且对任何线性有界算子A,当A与N和N*都可交换时,A必与E(M)(M∈Bζ（N）)可交换. 系1：设N是复Hilbert空间H中的正常算子，那么N决定的谱测度不可能集中在比ζ（N）更小的闭集上。
系2：设N是复Hilbert空间H中的正常算子，（ζ（N）, Bζ（N），E）是由N决定的谱测度，对于每一个?∈（ζ（N）, Bζ（N）） 作
?（N）=∫ ζ（Ｎ）?（z）dE（z）
那么???（N）是算子演算。 算子演算可构成算子代数（略）。
参考书：1、复旦大学夏道行等编著教材；
2、 南京大学郑维行等编教材； 3、 程其襄等主编教材；
4、 郑州大学数学系编习题集。 5、 国防科大参考书。
6、 胡适耕《应用泛函分析》科学出版社2003年版 7、 许天周《应用泛函分析》科学出版社2002年版 8、 张恭庆《泛函分析》上
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