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C32113因为P(X?3)?3??0.1；P(X?4)?3??0.3；
C510C5102C46P(X?5)?3??0.6
C510所以 E(X)?3?0.1?4?0.3?5?0.6?4.5
ak4.3 设随机变量X 的概率分布P{X?k}?(1?a)k?1数，求E(X)
(k?0,1,2,),其中a?0是个常
??akaak?1解: E(X)??k，下面求幂级数?kxk?1的和函数，?kk?12?k?1(1?a)(1?a)k?1(1?a)k?1k?1?易知幂级数的收敛半径为R?1，于是有
??kxk?1k?1x1?(?xk)??()??,21?x(1?x)k?1?x?1,
根据已知条件，a?0，因此0?a?1，所以有 1?aE(X)?a1?a.
(1?a)2(1?a)21?a
4.4 某人每次射击命中目标的概率为p, 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.
解：因为X的可能取值为1,2,??。依题意，知X的分布律为
P(X?k)?qk?1p,q?1?p,k?1,2,???
所以E(X)??kqk?1k?1qp?p?(q)??p(?qk)??p()?
1?qk?1k?1k
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?p111 ?p??22p(1?q)p4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15
分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期 望能得到多少分？
解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B(4,0.6)
0因为 P(X?0)?C40.60?0.44?0.025 61P(X?1)?C40.61?0.43?0.1536
2P(X?2)?C40.62?0.42?0.3456
3P(X?3)?C40.63?0.41?0.3456
4P(X?4)?C40.64?0.40?0.1296
所以Y的分布律为
Y P 故期望得分为
0 0.0256 15 0.1536 30 0.3456 55 0.3456 100 0.1296 E(Y)?0?0.0256?15?0.1536?30?0.3456?55?0.3456?100?0.1296
= 44.64
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4.6 设随机变量 X 的概率分布为P{X?(?1)不存在。
k?13kk}?2(k?1,2,3k,),说明X的期望
解:级数
?xk?1?kpk??(?1)k?1?k?1?3k22?k??发散,不符合离散型随机变量期望定义的k3k?1k要求,从而X的期望不存在.
4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其
概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.
解：设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B(3,0.4)
故 E(X)?3?0.4?1.2
4.8 设随机变量X的概率密度函数为
?x,0?x?1,?f(x)??2?x,1?x?2, 求E(X).
?0,其他???12解：E(X)????xf(x)dx??xdx??021x3x(2?x)dx?31012?(x2?x3)1?1.
3
4.9设随机变量X的概率密度函数为
?ax,0?x?2,?f(x)??bx?c,2?x?4
?0,其他?
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又E(X)?2,P{1?X?3}???23,求常数a,b,c的值. 4解： 由
???f(x)dx?1????0axdx??(bx?c)dx，得 2a?6b?2c?1 ①
24因为 E(X)?856?a?b?6c xf(x)dx?xaxdx?x(bx?c)dx????0?23324所以，由E(X)?2，得a?238356b?6c?2 ② 3又 P(1?X?3)??1axdx??(bx?c)dx??235a?b?c 22由 P(1?X?3)?3353，得a?b?c? ③ 422411，b??，c?1 44解联立方程①②③，得a?
4.10 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?1,???x???,说明X的期望不
?(1?x2)存在.
????????解:积分
?xf(x)dx??x?(1?x2)dx?2????0xdx,显然,积分发散,根据连续型随机21?x变量期望的定义, X的期望不存在.
4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为
72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.
解：设X~N(?,?2)，依题意得，??E(X)?72
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又 P(X?96)?2.3%?0.023，则P(X?96)?0.977??(2)
即有 ?(96?72?)??(2) 所以
96?72??2 得 ??12
所以 X~N(72,122)
故所求的概率为 P(60?X?84)?P(|X?72|?12)?P(|X?72|?1) 12?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826
4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算E(X2)、E(5X2?4). 解：E(X2)?02?0.4?12?0.3?22?0.2?32?0.1?2
E(5X2?4)?5E(X2)?4?5?2?4?14
4.13 设随机变量X的概率密度函数为
?e?x,f(x)???0,x?0,x?0,,
分别计算Y?2X的期望和Y?e?2X的期望 解：因为 X~E(?)，其中 ??1，所以 E(X)?1??1
故 E(Y)?E(2X)?2E(X)?2?1?2
??????E(e?2X)??e?2xf(x)dx??e?2xe?xdx??e?3xdx???001 3