力学基础 第二章 质点动力学
第二章 质点动力学
§2—1 牛顿运动定律
运动是物质的固有属性，但物质如何运动，则既与自身的内在因素有关，又取决于物质间的相互作用。在上一章中，我们讨论了运动学的一些基本和重要的概念，也介绍了几种简单而又基本的机械运动形式，但没有指出物体运动变化与外界作用之间的内在联系，这是本章动力学的主要内容．动力学的基本定律是牛顿所建立的三条运动定律，我们首先加以讨论． 牛顿运动定律 牛顿的三条运动定律是从无数事实中归纳出来的，可分别陈述如下： 第一运动定律：任何物体将永远保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。
第二运动定律：物体受到外力作用时，物体所获的加速度的大小与合外力成正比，并与物体的质量成正比；加速度的方向与合外力的方向相同。
第三运动定律：当物体A以力f1作用在物体B上时，物体B也必定同时以力f2。作
????用在物体A上；f1和f2在同一直线上，大小相等而方向相反。如图2—1所示。
图２－１ 作用力和反作用力
?? 在f1和f2两个力中，如果把其中一个力称为作用力，那末另一个力就称为反作用力。
所以牛顿第三定律也可改述如下：作用力和反作用力在同一直线上，大小相等而方向相反。
应该指出，牛顿运动定律中的“物体”是指质点而言的，这些定律是质点运动的基本定律。但是也应该指出，从牛顿运动定律可以导出刚体、流体等运动定律，从而建立起整个古典力学体系。因此，牛顿运动定律不仅是质点力学的基础，而且是整个古典力学的基础。 下面我们把这三条定律的意义及有关概念分别作些说明。
第一定律 第一定律指明任一物体在未受到外力（即其他物体对它所作用的力）时，将保持静止或匀速直线运动的状态。物体保持这种运动状态的特性，称为惯性．所以第一定律又称为惯性定律。
同时，第一定律也确定了力的涵义。物体所受的力是外界对该物体所施加的一种作用，使物体改变静止或匀速直线运动的状态，也就是使物体获得加速度。 我国春秋时代的墨翟在所著的“墨经”中曾写道：“力，形之所以奋也。”这里，“形”就是我们所说的“物体”，“奋”就是“由不动变为动”的意思，可见在两千年以前，我们的先辈已对力的意义有了明确的认识。在西欧，在第一定律尚未建立以前，许多人误认为力是 维持速度的原因，误认为物体不受力，就要失去速度而归于静止。伽俐略在这类问题上，进行了实验，经过反复推敲，终于说明了力并不是维持速度的原因，而是改变速度的原因。实在说来，牛顿第一定律是间接验证的，因为任一物体是不可能完全不受外力作用的。当物体受到两个或两个以上的外力作用时，如果外力的作用彼此抵消，亦即当物体处于力的平衡中，物体将与不受外力一样，保持静止或匀速直线运动状态；如果这些力的作用并不完全抵消，物体将在合力的作用下改变速度．一个物体在粗糙水平面上滑动，滑过一段路程后将完全停止下来，这是因为物体受到摩擦阻力的缘故。如果这物体以同样的初速度在一个较为光滑的水平面上滑动，由于受到的摩擦阻力要小一些，那末它将滑得远一些才停止下来。
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由此可以外推地设想，如果这物体在一理想的绝对光滑的平面上滑动，那末由于物体不再受到使它减速的摩擦阻力的影响，物体也就保持其初速度不变而匀速运动下去，这样就使我们理解到：力并不是维持速度的原因，而是改变速度的原因。
第二定律 在第一定律的基础上，第二定律对物体机械运动的规律，作了定量的陈述，
??引人了“力”和“质量”这两个重要的物理量，并确定了力f、质量m和加速度a之间的
关系：
f?kma （2一1）
式中比例系数k决定于力、质量和加速度的单位．在国际单位制（SI）中，k=l，于是上式写作
???? f?ma （2一2）
在国际单位制中，采用式（2－2），质量的单位为千克（kg）加速度的单位为米·秒-2（m·s-2），力的单位为牛顿（N）．1牛顿的力，就是作用于质量为1kg的物体使其获得lm·s-2的加速度的力。
式（2—2）是牛顿第二定律的数学表式，这是质点动力学的基本方程。如果知道物体所受的外力以及物体的初位置和初速度，那末受力物体在任何时刻的位置和速度就可以确定。所以这一方程也称为牛顿运动方程。 第二定律概括了下述基本内容：
首先，第二定律说明了任一物体在不同外力作用下，物体的加速度与外力之间的同向、正比关系。
其次，第二：定律说明了不同物体在相等的外力作用下，物体加速度与物体质量之间的反比关系。这里，先要说明质量的意义。要知道，物体的惯性还表现在受到外力作用时是否
①
?容易改变速度这一事实上。譬如说，在相等的外力f0作用下，某一物体的加速度a1；较大
（因为容易改变速度），另一物体的加速度a2较小（出为不容易改变速度），我们就说前 ①关于力学中的单位制参看2—2国际单位制简介，见附录Ⅱ
一物体的惯性较小，后一物体的惯性较大。物体的质量就是物体惯性大小的量度。为了确定描述两物体质量的大小，我们可以规定：m1a2a?亦即后一物体的质量m2(?1m1)是m2a1a2前一物体质量m2的
a1倍。如果选定m1为标准物体的质量，并作为单位质量，那末其他物a2?体的质量就可确定。当然，这是在一定大小的外力f0作用下确定的。然而事实证明：如果?外力f0的大小有所改变，相应地所产生的加速度a1和a2也随之而变，但两者的比值却是一
个恒量．由此可见，物体的质量是恒量，而且不同的物体在相等外力作用下，加速度与质量成反比的定律具有普遍意义。
其三，第二定律概括了力的独立性（或迭加性）．实验证明，如果几个力同时作用在一个物体上，那末所产生的加速度等于一个单力所产生的加速度，这个单力等于这几个力的矢量和．由此可以看出：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度，应等于每个力单独作用时所产生的加速度的迭加（矢量加法），这称为力的独立性原理或力的迭加原理。运动迭
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加原理和力的迭加原理实质上是一致的。由于力的矢量性，我们可把式（2一2）写成
???fi?ma （2—3）
?? 由此可见，式（2—1）和式（2—2）中的f应理解为物体所受的合力?fi。
应用第二定律时，应注意下述几点：
?? （1）第二定律是说明瞬时关系的，a表示瞬时加速度，表f示瞬时力。力改变时，加
速度也同时随着改变。力和加速度同时存在，同时消失。加速度只在有力作用时产生，当力变为零时，加速度相应地也变为零。
（2）公式（2一2）是矢量式。实际应用时，常用正交坐标系中各轴线方向上的分量式： fx?max，fy?may，fz?maz （2—4） 或
d2xd2yd2z fx?m2，fy?m2，fz?m2 （2—4a）
dtdtdt应用上述分量式时，应注意各分量（力和加速度的分量）的正负决定于坐标轴的取向。
有时也常根据圆周轨道或曲线轨道的自然情况采用法向分量式和切向分量式来分析和求解力学问题：
Fn?man?m
v2?Ft?mat?m式中Fn和Ft分别代表法向合力和切向合力。
dvdt （2—5）
（3）f是物体所受的一切外力的合力，但不能把ma误认为外力。
例如：质量为m的物体，在水平桌面上运动（图2一2），物体在竖直方向所受的外力有重力P和桌面对物体的向上正压力N，P和N相平衡，所以在竖直方向物体没有加速
???①
???????度。物体在水平方向上所受到的外力有水平拉力F和摩擦力fr。水平方向的合力为F?fr，
合力的大小为F?fr。按第二定律，得F?fr?ma，式中a就是F?fr所产生的加速度。
ma虽在量值上等于F、fr两力之差，但不能认为是沿水平方向施予物体的第三个外力。
图2—2
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（4）演算力学问题时，一般要作简图，画出物体所受的各个力。问题中如有几个物体相互接触，或用绳于连结，应将各个物体分开画出，然后画出每个物体所受的各个力。这种图称为隔离体图或示力图。应用示力图可以帮助我们把物体间的作用力与反作用力分辨清楚．选择恰当的坐标系之后，也可以比较方便地按牛顿第二定律列出各物体的运动方程，步骤也比较清楚。图2—2右边所画的就是左边物体m的示力图。
第三定律 第三定律说明物体间的作用力具有相互作用的本质：力是成对地出现的，作用力和反作用力同时存在，同时消失；当作用力和反作用力存在的时候，不论那一时刻，一定在同一条直线上，而且大小相等，方向相反．必须特别注意，作用力和反作用力是作用在不同物体上的，一个物体所受的作用力决不能和这个力的反作用力互相抵消。B物体受到A物体的作用力时，可获得加速度；同时A物体也受到B物体的反作用力，也可获得加速度。
还应该注意，作用力和反作用力一定属于同一性质的力，如果作用力是万有引力或弹性力或摩擦力，那末反作用力也相应地是万有引力或弹性力或摩擦力。
现在用一简单实例具体说明作用力与反作用力的关系。参看图2—3，一重物悬在绳子的
?下端，绳子竖直，物体保持静止。这时重物受到两个力：一为绳子的向上拉力T，一为地球
?????作用于重物的向下引力P．因为物体处于平衡状态，可知T?P?0,T?P.T和P虽然是
大小相等、方向相反的两个力，但必须注意不能错误地认为它们是一对作用力和反作用力。
??应该认识到T是绳子拉重物向上的力（作用在重物上），T的反作用力是重物拉绳于向下的?/??/力T（作用在绳子上）；T和T在同一竖直线上，大小相等、方向相反，且同是弹性力（张
力）。P为地球吸引物体的力（作用在重物上），方向向下，P的反作用力为物体吸引地球
???/??/的力P（作用于地心），方向向上。P和P大小相等，且同是万有引力。
图2—3
牛顿的三条运动定律之间有着紧密联系。第一定律和第二定律分别定性地和定量地说明了一物体的机械运动状态的变化与其他物体对这物体的作用力之间的关系。第三定律说明引
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起物体机械运动状态变化的物体间的作用力具有相互作用的性质，并指出相互作用力之间的定量关系。第二定律侧重说明一个特定物体，第三定律侧重说明物体之间相互联系和相互制约的关系。
在力学中，常见的力有万有引力，弹性力和摩擦力．现在简单介绍如下：
（一）万有引力 任何两个质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量m1、m2的乘积成正比，和两质点间的距离r的平方成反比；引力的方向则在两质点的连线上。公式如下：
f?G式中的G?6.672?10?11m1m2 2rN?m2?kg?2，称为万有引力常数。
通常所说的物体的重量就是地面附近的物体所受的地球引力（又称重力）。由上可知（证
?明从略），质量为m的物体所受的重力P的大小为
P?GmME?mg 2RME是重力加速度（忽略地球自转的影R2式中ME是地球的质量。R是地球的半径，g?G响）。
（二）弹性力 弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。又如绳子或细棒被拉伸时，在绳子或细棒内部每相邻的两部分之间，也有相互作用力，这种力称为张力。恢复力和张力都是弹性力。两物体相互接触时，垂直于相互接触面的正压力也是弹性力。
1、弹簧的弹性力 经验表明，当用力去拉长（或压缩）弹簧时，我们会感觉到弹簧也对 手施力，弹簧力图抗拒形变的力，就是弹簧的弹性力。
图2—4 弹簧中的弹性力
设有一弹簧，使它的一端固定，另一端与一个物体相连接[图2—4（a）]，当物体自O?点向右移动时，弹簧被拉长，弹簧的弹性力f指向左[图2—4（b）]；当物体自O点向左
移动时，弹簧被压缩，弹簧的弹性力向右[图2—4（c）]。实验证明，在弹簧的伸长量（或压缩量）不太大的条件下，弹簧弹性力的大小与弹簧伸长量（或压缩量）成正比。为了描述弹性力的规律，我们建立坐标系Ox，以弹簧自由伸长状态时物体的位置（叫做平衡位置）为坐标原点，以向右为正方向（图2—4），物体的位移x的大小就是弹簧的长度改变量（伸
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