力学基础 第二章 质点动力学
例题2—7 一质量为10?10kg的小球，从h1?0.256m高度处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度为h2?0.196m。问小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量是多少？ 如果小球与桌面的接触时间为（1）??0.01s；（2）??0.002s试求小球对桌面的平均冲力。
?3
图2—17 例题2—7 用图
? 解法一：取小球为研究对象。在?这段时间内，作用在小球上的力有两个：重力P，
方向向下；桌面对小球的正压力N方向向上。这正压力是个变力，在这极短时间?内迅速
?????NN变化，我们用平均正压力来代替，用?表示桌面对小球作用的冲量I，N的反作用力????? N?就是小球对桌面的正压力。小球对桌面的冲量I?可用N??表示，I?和I等值而反向。
由自由落体公式，可以求出小球刚接触桌面时的速度?1，?1?由竖直上抛物体公式，可以求出小球刚离开桌面时速度?2，?2??2gh1，方向向下。2gh2，方向向上。在
?这极短时间内，小球的速度从初速度?1变到末速度?2。如取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，那末，根据动量定理得
??????(N?P)??m?2?m?1
写成标量式，有
(N?p)??m?2?(?m?1)?m(2gh2?由此得
N??m(2gh2? N?2gh1)
2gh1)?p??m(2gh2?2gh1)?mg? （1）
m(2gh2?2gh1)?2h11?g??mg
?1 ?mg????将m、h1、h2及?的数据代入，求得
?2h2?1? （2） ?g?21
力学基础 第二章 质点动力学
?1?2.24m?s?1，?2?1.96m?s?1
（1）??0.01s时，
N??4.30?10?2N?S
N?4.30N
（2）??0.002s时，
N??4.22?10?2N?S
N?21.1N
由上面的计算知道，小球的自重（?0.1N）对平均冲力是有影响的。在第一种情况中，下平均冲力N比小球自重要大几十倍，在第二种情况中，平均冲力N比小球自重大二百余倍，因此，在后一情况下，更可忽略自重的影响。
解法二：动量定理不仅用于小球与桌面接触的短暂时间，也可用于小球下落、上升的整个过程。设小球自由落下h1高度的时间为t1，由运动学知识容易算出t1?2h1，设小球g从桌面上升t2高度的时间为t2，也容易算出t2?2h2 。 g?在小球下落、接触桌面、上升的整个过程中，重力P作用时间为（t1???t2），它的
?冲量方向向下，大小等于P（t1???t2）；正压力N的作用时间为?，它的冲量方向竖直
向上，大小为N?。由于小球在整个过程中的初、末速度均为零，即它的初末动量也均为
??零。如取竖直向上方向为正方向，那末，根据动量定理得到
N??P(t1???t2)?0
写成标量式有： N??P(t1???t2)?0 由此得
N?P(t1?t2??1)?mg(12h112h2??1)
?g?g这和解法一的结果相同。
例题2—8 一弹性球，质量m?0.20 kg，速度
??5m?s?1，与墙碰撞后跳回。设跳回时速度大小不
变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是?（图2一18），设球和墙碰撞的时间?t?0.05s，??60 图2—18 球和墙的弹性碰撞
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o 力学基础 第二章 质点动力学
。求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力。
???解 设墙对球的平均作用力为f，球在碰撞前后的速度为?1和?2，按动量定理，得 ????f ?t?m???m?2?m?1 （1）
将冲量和动量分别沿N和X两方向分解，上式可写成分量式
fx?t?m?2x?m?1x （2） fN?t?m?2N?m?1N （3）
从图中可知，?1x??sin?，?2x??sin?，?1N???cos?，?2N??cos? 代人式（2）和式（3），得
fx?t?m?sin??m?sin??0
fN?t?m?cos??m?cos??2m?cos?
?所以 fx?0
fN?2m?cos?
?t由此可见，墙对球的作用力的方向和墙的法线方向相同（注意，这一结论并不在所有斜向撞中都是正确的）。代人已知数字 得 f?fN?2?0.2?5?0.5?20N?2千克力
0.05N按牛顿第三运动定律，球对墙的平均作用力和f相等而反向。
例题2—9 一绳跨过一定滑轮，两端分别挂有质量为m及M的物体（图2－19），M大于m，M静止在地面上，当m自由下落h距离后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时，两物体的速度及M能上升的最大高度。
解 已知物体m自由下落h距离时，正好绳子拉紧，此时m的速度为?大小为
?，
??2gh
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力学基础 第二章 质点动力学
图2－19 例题2—9 用图
当绳子拉紧时，m和M同时受到绳子的冲力作用，经过极短时间?t后，都以速率V运动，
????M的速度V向上，m的速度??向下, V和??的大小均等于V。根据动量定理，得
物体m：
???/? (T1?P1)?t?m??m? （2）
物体M：
(T2?P2)?t?MV?0 （3） 式中T1是m所受的向上的冲力，T2是M所受的向上的冲力。T1和T2大小相等，其值都等
?????????于这时绳子中的张力；P1和P2是m和M所受的重力，它们都是有限大小的力，与冲力相
比较，重力的冲量可以不计，把式（2）和式（3）写成标量式（我们取竖直向上方向为正方向），有
(T1?P1)?t??mV?(?m?)或(T1?t?m??MV （2）
/(T2?P2)?t?MV?0或T2?t?MV （3/）
因T1?T2，从式（2）和式（3），得
V?将式（1）中的v代人得
//m?
M?mm2gh
M?mV?绳子拉紧后，m向下运动，M向上运动，但由于M＞m，可知m和M都作减速运动，加速度a在§2-1例题2—1中已知为
M?mg
M?mM以初速V上升，其加速度与速度反方向，设最后M上升的高度为H，则有
a?
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力学基础 第二章 质点动力学
0?V2?2aH
V2m2(2gh)m2h??所以 H? 2a2(M2?m2)gM2?m2
§2—5 动量守恒定律
动量守恒定律和其他定律一样，也是人们在长期实践中总结出来的定律。在古典力学中，这一定律可从牛顿运动定律直接导出。
为简单起见，我们先讨论两个物体的碰撞。设A、B两物体在同一直线上运动，发生相互碰撞，如图2—20所示，在它们碰撞的瞬时，除彼此受到冲力以外，不受其他外力作用。设两物体的质量分别为m1和m2，碰撞前后的速度分别为?10,?20和?1,?2又设在碰撞时间
???????t内，A物体给予B物体的平均冲力为f2，而B物体给予A物体的平均冲力为f1。这样，
按动量定理
?m1?1?m1?10?f1?t ?????m2?2?m2?20?f2?t
牛顿第三运动定律指出：f1??f2，所以，以上两式相加后得
??????m1?1?m2?2?m1?10?m2?20
容易看出，右边两项表示碰撞以前两物体动量之和，而左边表示碰撞以后两物体动量之和。由此可见，碰撞前后，两物体的动量之和保持不变。
图2—20 动量守恒定律
在实际问题中，常要研究一组物体的运动．我们把这一组物体称为“系统”。系统内各物体所受到的力包括两个方面：一是系统内各物体间的相互作用力，称为系统的内力；一是系统外的物体对系统内的物体的作用力，称为作用于系统的外力。
???????设一系统有n个物体，如图2一21所示。虚线表示系统的周界，f12、f21,?f1?n、fn1, ?????f2?n、fn?2,?等为内力，f1、f2?fn分别表示系统外的物体对系统内第一、第二??第n个
物体作用的合力。
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