力学基础 第二章 质点动力学
长量或压缩量），因而弹簧弹性力的大小与弹簧形变时长度改变量的关系可表示为
f??kx
式中k叫做弹簧的劲度系数，表示弹簧在发生单位长度改变时所产生的弹性力的大小，负号表示弹性力的方向与位移的方向相反。上式说明了弹簧弹性力的特征：弹簧弹性力的大小与物体位移的大小成正比，方向与位移的方向相反。k的单位是牛/米（符号是N?m?1），其值的大小与弹簧的材料、弹簧丝的直径、簧圈的直径和匝数等因素有关。对一个具体的弹簧来说，要它能够恢复原状，所受的外力就不能超越其一定的限度，这个限度叫做弹簧的弹性限度。外力超过了弹性限度，弹簧就不能完全恢复原状。
2、绳索中的张力 弹性力不仅发生在接触物体之间，而且也发生在物体的内部，绳子即为一例。当绳子被拉伸时，其内部要产生形变，同样要出现弹性力。在具体问题中，一般由于绳子内部的形变不大，往往忽略它的形变而把绳子看作是不可伸长的，但承认它内部会产生弹性力。
设有一根绳子，其两端受到外力F1和F2的作用（图2一5），我们把绳子分成许多小段来看，每相邻小段间的相互作用力T1、 T1、T2、T2等等都是张力。其中
????/??/
图2—5 绳子中的张力
???//T1、 T1是一对作用力与反作用力，等值而反向，称为绳子在A点处的张力；T2、T2也是
一对作用力与反作用力，等值而反向，称为绳在B点处的张力。其他依次类推。设绳子每小段的质量依次为?m1、?m2、?，绳子的加速度为a，方向向右，那未按牛顿第二定律；应得：
?F1?T1?(?m1)a T1?T2?(?m2)a ???所以 T1?F1?(?m1)a
/T2?T1?(?m2)a?F1?(?m1)a?(?m2)a??
这说明绳子内不同点处的张力是不相等的。如果a?0(即绳子静止或作匀速直线运动），则绳子内各点处的张力相等。又如果a?0，但绳子的质量可以忽略不计时（即绳子为轻绳时），
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则绳子内各点处的张力也是相等的。而且这时绳子内各点处的张力T1、T1、T2、T2都和外力F1、F2相等。
（三）摩擦力 两个相互接触的物体沿接触面发生相对运动时在接触面之间所产生的一对阻止相对运动的力，称为滑动摩擦力。实验证明，滑动摩擦力fK与接触面上的正压力N成正比，即
//fK??KN
，?K称为滑动摩擦系数，其数值决定于两物体的质料和表面情况（粗糙程度、干湿程度等）而且也与物体的相对速度有关。在大多数情况下，?K随速度的增大而减小，最后达到某一稳定值。
两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有相对运动的趋势时，在接触面之间产生的一对阻止相对运动趋势的力，称为静摩擦力。静摩擦力的大小视具体情况（由两物体相对静止时的具体条件）而定，其值在零和最大静摩擦力fs?max之间。实验证明。最大静摩擦力也与正压力N成正比，即
fs?max??sN
?s称为静摩擦系数，其数值也决定于两物体的质料和表面情况。对于给定的一对接触面来
说，?K??s而且?K、?s一般都小于1。摩擦系数的数值通常在工程手册中给出，现将常见的几种材料的摩擦系数列表如下：
表２一１摩擦系数
例题2一1一细绳跨过一轴光滑的定滑轮，绳的两段分别悬有质量为m1和m2的物体， 其中m1?m2，如图2—6所示。设滑轮和绳子的质量可以略去不计，绳子不能伸长，试求
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图2—6 例题2—1用图
物体的加速度以及悬挂滑轮的绳子上的张力。
解 在本题中，主要研究对象是m1、m2两个物体，它们之间是互相联系着的。这时，要分别研究每一个物体受力而运动的情况，然后根据相互间的联系求出解答。［要注意到，本题中的定滑轮是一个应予重视的研究对象，在本题所设的条件下，问题是简化了有关滑轮转动的情况，参看§3—3中例题3—3］
作隔离体图。对m1来说，在绳子拉力T1及重力P1的作用下，以加速度a1向上运动。取向上为正向，所以
T1?m1g?m1a1 （１） 对m2来说，在绳子的拉力T2及重力P2的作用下，以加速度a2作向下运动，以向下方向为正向，所以
m2g?T2?m2a2 （２）
应注意：因滑轮轴承光滑，滑轮和绳子的质量可以略去等等，所以认为绳子上各部分的张力都相等；又因绳子不能伸长，m1的向上加速度必须与m2的向上加速度在量值上相等。所以
T1?T2?T,a1?a2?a。解（1）和（2）两式，得
a?m2?m12m1m2g T?g
m1?m2m1?m2//滑轮两侧绳子的两个向下拉力T1（?T1）与T2（?T2）和悬挂滑轮绳子的向上拉力T相互平衡，所以
/T/?T1/?T2/?2T
将T值代入后得
T??4m1m2g
m1?m2容易证明 T??(m1?m2)g
例题2—2 升降机内有一光滑斜面。固定在升降机的底板上，斜面其倾角为?，如图2—7中所示。当升降机以匀加速度a1上升时，质量为m物体从斜面的顶点沿斜面开始下滑，
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已知斜面长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底部所需的时间。
解 以物体m为研究对象。其受到斜面对它的正压力N和重力P。以地面为参考系，设物体m相对于斜面的加速度为a2，方向沿斜面向下，则物体相对于地面的加速度为
a?a1?a2 （1）
设x轴正向沿斜面向下，y轴正向垂直斜面向上，则对m应用牛顿运动定律列方程如下： x方向 mgsin??m(a2?a1sin?) （2） y方向 N?mgcos??ma1cos? （3） 解（2）、（3）两方程，得
a2?(g?a1)sin? （4）
N?m(g?a1)cos? （5）
由牛顿第三定律可知，物体对斜面的压力N?与斜面对物体的N压力大小相等，方向相反，物体对斜面的压力N?为
N??m(g?a1)cos? （6）
垂直指向斜面。
因为m相对于斜面以加速度
a2?(g?a1)sin?
沿斜面向下作匀变速直线运动，所以
l?11（7） a2t2?(g?a1)sin?.t2
222l （8）
(g?a1)sin?得 t?
图2—7例题2—2用图
例题2—3 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底板上，其倾角为?，如图2—8a中所示。当升降机以匀加速度a1上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑，求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度各如何？
解 设物体相对于斜面的加速度为a，因已知斜面对地面的加速度为a1（向上），所以物体相对于地面的加速度为
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??? a?a??a1 （ 1）
取正交坐标系XOY如图２－8所示，OX轴水平，OY轴竖直向上。
图2—8 例题2—3 用图
对式（１）取分量式，有
// ax?ax?acos?，ay?ay?a1?a1?asin? （1a）
//???物体m的受力情况分析如下：它只受到重力P和斜面对它的正压力N的作用，N的方向垂?直于斜面上（与竖直线成?角，如图），N的大小待定。按牛顿第二定律，应有
??? P?N?ma （2）
对式（２）取分量，有
Nsin??macod? （３） Ncos??mg?ma1?masin? （４）
式（3）和式（4）是联立方程，可求得两未知量a?和N如下：
a?(g?a1)sin? （５）
N?m(g?a1)cos? （６）
于是，可知物体m相对于地面的加速度的分量为
///ax?a/cos??(g?a1)sin?cos?
??a1cos??gsin? ay?a1?asin加速度a的大小和方向可由ax、ay求出，这里不——写出。
请读者自己思考：如a1?0或a1??g时，由式（6）可得到怎样的结果？又设想
/22?a1??2g时，则由式（5）、（6）所得结果是否合理？
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