力学基础 第二章 质点动力学
图2—21 系统的内力和外力
按牛顿第二运动定律和第三运动定律，可以证明：（1）系统内一切内力的矢量和等于零；（2）系统所受外力的矢量和等于系统总动量的时间变化率，即
式中
?m?i?i为系统的总动量，
??fi是系统所受外力的矢量和。
?d?(?mi?i)??fi （2－11） dt 如果该系统不受外力或所受外力的矢量和为零（即从式（2-11）可知：
??fi?0），
d?(?mi?i)?0 dt于是
（在??m?=恒量，
ii??fi?0的条件下） （2—12）
即系统的总动量（包括方向和大小）保持不变。这一结论称为动量守恒定律。它指出：系统内各物体相互作用的内力，虽能引起各自动量的改变，但并不引起系统总动量的改变；系统总动量的变化仅与外力有关，在系统不受外力或外力矢量和为零时，系统的总动量守恒。
动量守恒定律的数学式是一个矢量式。在实际计算时，可用相应的分量式，即
m1?1x?m2?2x??+mn?nx=恒量（在?fix=0条件下）
m1?1y?m2?2y??+mn?ny=恒量（在
?fiy=0条件下） (2—12a)
m1?1z?m2?2z??+mn?nz=恒量（在?fiz=0条件下）
根据分量式，我们很容易明白：如果系统所受各个外力在某方向上的分量的代数和为零，那末系统的总动量在该方向上的分量保持不变。 动量守恒定律告诉我们：两个相互作用的物体，在一定条件下，一个物体所失去的动量，恰好等于另一个物体所获得的动量。这就是说，动量守恒定律揭示了通过物体间的相互作用，机械运动发生转移的规律。在古典力学中，这一定律可以从牛顿运动定律导出。然而，动量守恒定律不仅适用于一般物体，而且也适用于分子原子等微粒，是物理学中最普遍的定律之一。实践指明：在牛顿定律一般不适用的领域，例如微观粒子方面，动量守恒定律仍然是适用的。
反冲现象可以作为动量守恒的典型例子。放炮时，炮身的反坐就是一个反冲现象。放炮前，炮身和炮弹都静止，总动量是零。放炮后，设炮身和炮弹的水平动量分别为m1?1和m2?2，
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则根据动量守恒定律，两者之和仍应为零，即
m????m1?1?m2?2?0或?1??2?2
m1式中负号表示炮身获得的水平速度和炮弹的水平速度反向。炮弹或炸弹在空中爆炸时，各碎片向各方向飞开，在爆炸的瞬时，各碎片的总动量也等于炮弹或炸弹在爆炸前瞬时的动量。 动量守恒定律在工程上有许多应用．例如，火箭和喷气飞机在飞行时，利用化学作用（即液体或固体燃料的燃烧），背着飞行的方向不断地喷出速度甚大的大量气体，使火箭或飞机以高速度飞行。
例题2—10 炮身质量为M，弹头质量为m。设弹头的发射速率为?，仰角为?（图2—22）。求发射过程中炮身所获得的水平速度和地面的附加弹力对炮身的作用。
图2－22 例题2—10 用图 解 以炮弹和炮身组成的系统为研究对象，在发射过程中，由于火药爆炸，产生高压气体，使弹头和炮身受到强大的相互作用力。炮弹受到沿炮筒向前的力，获得发射动量。炮筒所受沿炮筒向后的力，称为反冲力。反冲力的水平分量是炮身出现水平相后的速度V，向下的竖直分量被地面的附加弹力（地面对炮身的弹力超过炮身的重量）所平衡。由于反冲力的水平分量远远超过地面对炮身的摩擦力，故在发射过程中可忽略摩擦力而近似地认为炮身——炮弹系统沿水平方向的动量守恒。在竖直方向，由于出现附加弹力，动量不守恒，附加弹力的冲量使上述系统获得竖直向上的动量增量。
沿水平方向和竖直方向取定坐标系O?xy,如图2-20所示。在水平方向运用动量守恒定律，
?m?cos??MV?0
m?cos?V??M
设地面对炮身的附加弹力的冲量为I,并假定地面很硬，在发射过程中炮身不向下沉。由系统的动量定理，得到
I?m?sin?
由于发射的过程极其短促，所以地面的附加弹力是很大的。
例题2—11 静止的湖面上有一条小船，长度为l，质量为M。船的一端站有一渔人，质量为m．渔人和小船原来都静止不动。现设该渔人从船的一端走到另一端，问渔人和小船各移动了多少距离？水对船的摩擦可以忽略不计。
解 由于水对船的摩擦可以忽略不计，所以人和小船这一系统沿水平方向的合外力等于零，故可应用动量守恒定律得
?m??MV?0 （1） ?式中u和V分别表示人和小船相对于地面的速度。由式（1）得
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?m?V???
M上式表示小船与人反向运动．人相对于小船的速度为
?M?m??????V??
M设人在时间t时间内在小船上走完船长l，则有
llM?mM?ml l????dt???dt??dt ?000MM??这段时间内，人相对于地面走了
x???dt
0l所以
x??小船移动的距离为
Ml
M?mml
M?mx?l?x?
§2—6 功 动能 动能定理
前两节中我们讨论了力的时间累积效应，引进了动量的概念，说明了动量定理，并且阐明了系统在没有外力的作用下，系统的动量守恒定律。这一节，我们将研究力的空间累积效应，从而讨论功和能的概念。
功 “功”的概念和通常所说的“工作”的意义有些相似，它是人们在长期的生产实践和科学研究中逐步形成的概念，在力学中，“功”的定义很明确。恒力的功的定义是：力对物体所作的功等于力在作用点位移方向的分量和作用点位移大小的乘积。譬如水平面上有
???一物体（图2—23a），在水平恒力f的作用下沿力的方向运动，位移为s，那末力f对物??体所做的功A等于力f的大小和位移s的大小的乘积：
A?fs
??如果f和s不在同一方向，两者之间的夹角为?（图2-23b），那末
A?fcos??s （2—13） 对于一个有一定形状和大小的物体来说，计算某力对物体所作的功，应注意到力的作用点的
图2—23 功的定义
位移。
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力学基础 第二章 质点动力学
功可以用力f和位移s的标积来表示。即
???? A?f?s （２－13a）
关于功的意义，在讲过能量概念以后，和能量概念联系起来，才可有更深刻的理解。事实上，在物质运动中，最显著的特性之一是物质之间的能量转换。“功”是能量的交换和变化的一种量度（参看2—8）。 从式（2－13）可知功有正负。当?＜＞
?时，功为正值，也就是力对物体作正功。当?2?时，功为负值，也就是力对物体作负功，或者说，物体反抗外力而作功。 2 功本身是标量，没有方向的意义。当力为零或力的作用点没有位移时也就没有作功；当力和位移相互垂直时，也没有作功。例如，物体作曲线运动，法向的力便不作功。
现在来讨论变力作功的问题．为简单起见，先讨论力和位移同方向。力的大小随物体所在位置不同而改变的情况。设运动方向为x轴的正方向，力f是物体位置坐标x的函数，用。我们来计算变力f在全部路程（从x1到x2）中所作的功。 f(x)表示（参看图2－24）
图2－24 变力作功的示功图
由于f是变力，所以我们要把全部路程分成许多微小的位移元，如图2一21所示的?xi；等，在各段微小位移元内，力可视为不变。于是力在第i段位移元中所作的微功是
?Ai?f(xi)?xi
而力在全部路程中的总功是所有微功的累加，即
?Ai?f(xi)?xi （2－１4）
如所取位移元为无限小，上式可改写为积分式
A??f(x)dx （2－14a）
x1x2所以功的量值，在示功图里，准确地等于变力曲线（即f?x图线）与x轴在极限x1与x2 之间的面积。
变力f也可能在方向上和量值上都在改变，因而物体在作曲线运动（图2－25）的过程
????中，我们必须知道在曲线路程上每一位移元?si处，力fi和位移?si之间的夹角?i，所以
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力学基础 第二章 质点动力学
图2—25 变力的功
微功?A和总功A分别为
???A?fi??si?ficos?i?si
??A??fi??si??ficos?i?si
ii或把总功用积分式表示为 A??ba??bf?ds??fcos??ds （2－15）
a式中a,b表示曲线运动的起点和终点。
假如有许多力同时作用于同一物体，我们不难证明合力的功等于各分力的功的代数和。 功的量纲是ML2T?2，国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N?m），称为焦耳（符号J）；在工程制中，是千克力·米，没有专门名称。此外，在电工学中还常用千瓦小时作为功的单位。
１千瓦小时＝3.6?10J
功率 在实际问题中，不仅要知道力所作的功，并且要知道完成这一功的快慢，因此要提出功率这一物理量，即单位时间内所作的功。设在时间?t内完成功?A，则在这段时间内的平均功率是
6N?若?t趋近于零，则某时刻的瞬时功率是
?A ?tN?lim或
?AdA (２－16） ??t?0?tdt???sN?limfcos??fcos???f?? （２－17）
?t?0?t上式说明瞬时功率等于力的速度方向的分量和速度大小的乘积。
功率的量纲是MLT2?3，在国际单位制中，功率的单位是焦耳·秒（J?s），称为瓦
-1
?1特（符号W）。
动能定理 现在我们来讨论，由于外力作功对物体的运动状态所引起的变化。 为简单起见，我们仍先讨论物体在恒合外力作用下作匀加速直线运动的情况，设物体的质量
????为m，初速为?0，所受恒合外力为f，加速度为a，经位移s后速度变为?（参看图2—
?
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