力学基础 第二章 质点动力学
例题2—4 如图所示，有一长为R的细绳，一端系一质量为m小球，一端固定于O点，现小球绕O点在竖直平面内作圆周运动。已知t?0时，小球处于最低点A且速度为v0。求小球在任一位置时的速度和绳子的张力。
解 小球绕O点在竖直平面内作圆周运动时，速度的大小和方向都在改变。选小球为研
???究对象，小球在任一位置时受重力和绳的张力T作用。T?mg?ma。根据牛顿第二定律，
将上式投影到小球所在处的法向和切向上，得
T?mgcos??m?2R （1）
?mgsin??md? （2） dt（2）式左边取负号是因为这一分量与小球切向的运动方向相反。解（1）、（2）就可求得小球在任一位置时速度和绳子的张力。因为物体沿圆弧运动的长度s?R?，对时间求导即得小球在切向方向上的速度
v?dsRd??dtdt
d?dt?R?代入式（2），得
?d???Rgsin?d? 两边积分，又已知条件，t?0时??0,???0
???0?d????Rgsin?d?0???d(2)0??2??gRd(cos?)0?
?22??022?Rg(cos??1) （3）
?2??02?2Rg(cos??1)???02?2Rg(cos??1)这就是小球在任一位置时的速度，它是?的函数 将（3）代入（1）有
T?mgcos??m?2R?m12?0?2Rg(cos??1) R??于是得 T?3mgcos??2mg?m张力的方向指向圆心。
?02R
11
力学基础 第二章 质点动力学
讨论：小球在竖直平面内作圆周运动时，绳中的张力随小球位置而改变。 当??0时，小球在最低点A，此时 T?mg?m当???02R
?2时，小球处在B处，
T?m当???时，小球处在最高点C处， T?m?02R?2mg
?02R?5mg
小球要完成圆周运动，在最高点C处绳子的张力必须大于或等于零。这是因为T?0,表明绳子已不处于张紧状态，小球将偏离圆周下落。由T?0可得
?5mg?0. R?0?5Rgm?02这就是小球作圆周运动的条件。
图2—9 例题2—4 用图
§2—2 力学的单位制和量纲
在采用国际单位制以前，常用的力学单位制有绝对单位制和重力单位制两类．在绝对单位制中，先规定质量的单位，然后根据牛顿运动方程（2一2）规定力的单位。在重力单位制中，则先规定力的单位，然后根据式（2—2）规定质量的单位。 常用的绝对单位制有两种，一种称为米千克秒制（MKS制），一种称为厘米克秒制（CGS制）。 在米千克秒制中，质量的单位规定为千克（kg），力的单位称为牛顿(N)．1N的力定义如下：在某一单力作用下，质量为1kg的物体刚好得到1m?s
?2的加速度时，这样大小的
12
力学基础 第二章 质点动力学
力叫做1N。国际单位制中的力学单位就是采用米千克秒制的力学单位．在厘米克秒制中，质量的单位为克（g），力的单位为达因（dyn），ldyn的力使质量为1g的物体得到1cm?s的加速度。很容易证明
1N?10dyn
根据所规定的力、质量和加速度的单位，我们可以将牛顿运动方程中各物理量连同它们的单位写作：
米千克秒制：f(N)?m(kg)?a(m?s) 厘米克秒制：f(dyn)?m(g)?a(cm?s)
在运动学中我们看到，在选定长度和时间两个物理量的单位以后，速度和加速度的单位就可分别按照它们的定义从长度和时间单位导出，例如m·s、m·s。在动力学中，在选定质量和加速度的单位以后，也就可根据牛顿第二定律导出力的单位．一般地讲，各个物理量之间，常有一定的联系，因此我们可以选定几个量作为基本量，相应的单位作为基本单位．通过定义或定律，导出其他各量和相应的单位。从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。
在绝对单位制中，选定长度、质量和时间作为基本量，所以米千克秒制和厘米克秒制两种单位制就是按照所采用的基本单位而命名的。力学中除上述各基本量以外，其他各量都是导出量，所用的单位也都是导出单位。
导出量由基本量导出，也就是可以用基本量的某种组合来表示。表示一个物理量如何由基本量（包括这些量的幂数）组合的式子，称为这物理量的量纲。例如在绝对单位制中，我们常用字母L、M和T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲。其他的各物理量的量纲就可用这三个字母的某种组合来表示，例如，速度的量纲是LT?1，加速度是LT?2，力是MLT?2。（应注意，在不同的单位制中，如果选用了不同的基本量，显然同一物理量的量纲也就不同。这一点，在电学中，是特别重要的。）
用量纲可以定出同一物理量不同单位之间的换算因数。例如力的量纲为MLT?2，力的单位从米千克秒制换算为厘米克秒制时，
可以写成：
1N?1kg?m?s?2?2?25?2?1?2?100g0?100cm?s?2
?105g?cm?s?2?105dyn
由此可得换算式t
1N?105dyn
量纲也可用来检核等式。在较复杂的方程中，常包括若干项，每一项必然具有相同的量
纲，因此检核各项的量纲，就可以明确等式是否正确．例如匀变速直线运动方程是：
1x?x0??0t?at2
2
13
力学基础 第二章 质点动力学
我们很容易看出，上式中每一项应具有长度的量纲L，所以按照量纲的检核，可知这方程是正确的（式中数字系数正确与否，不能用量纲检验出来）。根据同一理由，有时从量纲的分析，可以明确方程中某一比例系数（实际上系一物理量）的量纲，从而定出这比例系数 的单位．例如在万有引力定律的表式
f?Gm1m2r2
中，G表示万有引力常数，f、m和r分别表示力、质量和距离。从f、m、r的量纲，可知G的量纲为M?1?L3?T?2；相应地，在米千克秒单位制中，G的单位为m?kg?s。
3?1?2§2—3 惯性系和非惯性系
惯性系 在运动学中，按照研究问题的方便，参照系的选择可以是任意的。但应用牛顿运动定律时，参照系却不能任意选择，因为。牛顿运动定律并不是在任何参照系中都是适用的。例如，在一列以加速度a1作直线运动的车厢内，有一个质量为m的小球放在光滑的桌面上，如图2—10所示，这时，如果选地面为参照系，得出的结论是：小球上的合外力等
?
图2—10 加速运动的车厢中，牛顿运动定律并不适用
于零，小球保持静止状态，符合牛顿运动定律。如果取车厢为参照系，这个小球虽然所受合外力为零，但具有加速度?a1，所以，对于车厢这个参照系来说，牛顿运动定律并不成立。 凡是牛顿运动定律适用的参照系，称为惯性参照系，简称惯性系，而牛顿运动定律不能成立的参照系称为非惯性系。要肯定一个参照系是不是惯性系，只能根据观察和实验的结果来判断。从天体运动的研究知道：如果我们选定太阳为参照系，以太阳的中心为原点，指向任一恒星的直线为坐标轴，那末所观察到的大量天文现象，都能和根据牛顿运动定律和万有引力定律所推算的结果相符合。因此，在力学中通常把上述太阳参照系认为是惯性系。观察到的现象和理论还进一步证明：所有相对于上述惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系，而对于惯性系作变速运动的参照系，就不是惯性系。
地球对太阳有公转和自转，也就是说地心相对于太阳以及地面相对于地心都有向心加速度。显然，地球并不是一个惯性系。但如果我们把地球对太阳的向心加速度和地面对地心的向心加速度计算出来，可以发现，这些向心加速度都是极其微小的。譬如，地球对太阳的向心加速度为5?9?10m?s，地球的自转加速度为3?4?10?3?2?2?m?s?2，因此，在一般精确
度范围内，地球或静止在地面上的任一物体都可近似地看作惯性系。同样，在地面上作匀速直线运动的物体也可近似地看作惯性系，但在地面上作变速运动的物体就不能看作惯性系。
14
力学基础 第二章 质点动力学
由此可见，一个物体的运动对两个相互作匀速直线运动的惯性系来说，速度可以不同，加速度却是相同的．另一方面，在两个相互作匀速直线运动的惯性系中，如各有一物体，其质量相同，相对于各自的参照系的初速度、初位置相同，所受的力相同，那末这两物体相对于各自的参照系的运动将永远相同。这一结论----在相互作匀速直线运动的一切惯性系中，一切力学现象是等同的，也就是说，物体所遵从的力学规律完全相同----称为力学的相对性原理或伽利略相对性原理。
非惯性系中的力学定律 在非惯性系中，牛顿运动定律不适应的。但是，也可以假想在非惯性系中，除了相互作用所引起的力以外，还受到一种由于非惯性系而引起的力——惯性力。
例如，以图2—10的例子来说，在以加速度a1作匀加速直线运动的车厢中，如果假想
????在小球上有一个大小等于ma1、方向和a1相反的力f??ma1作用着，那末小球的运动仍然
可以用牛顿第二定律来描述。这个假想作用在小球上的力f??ma1就是所说的惯性力。 对于其他一些非惯性系（例如转动系统），也同样有惯性力。不过情况不同，惯性力的数学表示式也有所不同。
当把惯性力一并考虑时，非惯性系中仍然可借用牛顿运动方程的数学表示式，即
????F十惯性力?ma
??式中a是物体相对于非惯性系的加速度，F是由于相互作用该物体所受到的合力。
在图2—10中，读者可以想一想，“惯性力”是车厢中什么物体对物体m的作用？ 应该指出，“惯性力”是没有什么施力者的，也不具备“力是物体间的相互作用”这一特性。它和我们上面讨论牛顿运动定律时讲到的“真实力”存在着质的区别。这一点是要特别注意到的。惯性力的实质是非惯性系的加速度的反映。
例题2—4 一车厢相对于地面作匀加速直线运动，加速度为a?13g，车厢内悬挂一
小球。当小球相对于车厢不动时，问悬线与垂直方向之间的角速度为多少？
解 取车厢为（非惯性系）参考系，坐标系O?xy固定在车厢上，x轴向右，y轴向上，如图所示。
?这时小球受到三个力的作用，重力P，方向竖直??向下；悬线张力T，方向沿悬线；惯性力F，方向水
平向左。因小球相对于车厢这个非惯性系是静止的，所以这三个力平衡，即
???P?T?F?0
将此式分别沿x轴和y轴投影，得 图2—11 例题2—4用图
?0?Tsin??ma?0 ??mg?Tcos??0?0?
15