力学基础 第二章 质点动力学
解此方程组，容易得
1atg???g3gg?13
故 ??tg?11???取????
2?3?例题2—5 参看例题2－3，当升降机以匀加速度a1上升时，从升降机这一非惯性系来说，该物体m受到怎样的惯性力？怎样用惯性力的方法求得物体m沿斜面下滑的相对加速度a/？
解 升降机以匀加速度a1上升，从升降机这一非惯性系看来，这一物体除受到一个重力P（方向向下）和光滑斜面对它的正压力N之外，还受到一个大小等于ma1、方向与a1?????????相反的惯性力F惯，情况如图2—12中所示,相对于升降机来说，物体m是在合力“F惯+P”
的沿光滑斜面的分力作用下才下滑的．
在升降机这一非惯性系中，物体m的运动方程写作：
???? P?N?F惯?ma? （1）
沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向的分量式分别为
mgsin??ma1sin??ma （2） ?mgcos??N?ma1cos??0 （3）
由式（2）和式（3）求得
a?(g?a1)sin? ，N?m(g?a)cos?
与例题2—3中的结果相同。对式（1），如取竖直方向和水平方向分量式进行计算，也得相同的结果。但物理意义上不及上述计算清晰。
//
图2—12 例题2—5 用图
?以匀角速转动的非惯性系中的惯性力——惯性离心力fe
如图2—13所示，在光滑水平圆盘上，用一轻弹簧栓一小球，圆盘以角速度?匀速转动，弹簧被拉伸后相对圆盘静止。
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地面上的观察者认为：小球受到指向轴心的弹簧拉力，所以随盘一起作圆周运动，符合牛顿定律。
圆盘上的观察者认为：小球受到一指向轴心的弹簧力，而仍处于静止状态，不符合牛顿定律。圆盘上的观察者若仍要用牛顿定律解释这一现象，就必须引入一个惯性力——惯性离
?心力fe，即
???fe??mas?m?2r
值得注意的是，有些读者常把惯性离心力误认为是向心力的反作用力，这是完全错误的：其一，惯性离心力不是物体间的相互作用，故谈不上有反作用力；其二，惯性离心力是作用在小球上，作为向心力的弹簧力也是作用在小球上的，从圆盘上的观察者来看，这是一对“平衡”力。
惯性离心力也是日常生活中经常遇到的。例如物体的重量随纬度而变化，就是由地球自转相关的惯性离心力所引起的。如图2—14所示，一质量为m的物体静止在纬度为?处，其重力=地球引力+自转效应的惯性离心力，即
???W?F引?f惯
可以证明
W?F引?m?Rcos?
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图2—13转动参考系中的惯性离心力 图2—14重力与纬度的关系
但由于地球自转角速度很小（??把F引视为物体的重力。
?2?，故除精密计算外，通常?7.3?10?5rad/s）
24?3600?科里奥利力fc
设想有一圆盘绕铅直轴以角速度?转动。盘心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑小槽。槽中有一小球被穿过小孔的细线所控制，使其只能沿槽做匀速运动，假定小球沿槽以速度
?u相向外运动，如图2—15a所示。
现以圆盘为参考系。圆盘上的观察者认为小球仅有径向匀速运动，即小球处于平衡。因
??此，由图2—15b可以看出，小球在径向有细绳的张力T与惯性离心力fe平衡，而在横向??上必须有与槽的侧向推力N相平衡的力fc存在，才能实现小球在圆盘参考系中的平衡状
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力学基础 第二章 质点动力学
态。
图2—15科里奥利力的引入
??显然，与N相平衡的力fc不属于相互作用的范畴（无施力者），而应属于惯性力的范畴。通
常将这种既与牵连运动（?）有关，又与物体对牵连参考系（圆盘）的相对运动（u相）有
??关的惯性力称为科里奥利力，记作fc。
可以证明，若质量为m的物体相对于转动角速度为?的参考系具有运动速度u相，则科里奥利力
????fc?2mu相??
严格地讲，地球是个匀角速转动的参考系，因此凡在地球上运动的物体都会受到科里奥利力的影响，只是由于地球自转的角速度?很小，所以往往不易被人们察觉，但在许多自然现象中仍留下了科里奥利力存在的痕迹。例如北京天文馆内的傅科摆（摆长为10米）的摆平面每隔37小时15分转动一周；北半球南北向的河流，人们对下游方向观察则右侧河岸被冲刷得厉害些；还有，南、北半球各自有着自己的“信风”??这些都可以用科里奥利力的影响来加以解释。
§2—4 冲量 动量 动量定理
牛顿第二定律表明了某一瞬时物体所受的外力与所产生的加速度之间的关系。在研究实际问题当中，我们不仅要研究力的瞬时效应，而且还要研究物体在力的持续作用下，力对物体所产生的累积效应；这种效应分为两种；一种是力在时间过程中的累积效应；另一种是力在促使物体运行一段路程中的累积效应。本节先讨论力的时间累积效应。 我们用冲量表示力的时间过程中的累积效应。冲量等于力乘以力所作用的时间。如果外
??力f是一恒力，则在t1时刻到t2时刻的时间内，物体所受外力的冲量I为
??I?f(t2?t1) （2—6）
??如果外力f是一变力，亦即f是随时刻t而改变的函数，那末我们必须把力的作用时间?t2?t1分成许多极小的时间间隔?ti，使在这极小的时间内，力可视为不变（?fi）。于是力
在时间?ti中的冲量为
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力学基础 第二章 质点动力学
???Ii?fi?ti
而在t2?t1时间中的冲量为
I?????I?f?i?i?ti
如果所取的时间?ti为无限小，上式可改写为积分式
?t2? I??fdt （2—7）
t1要注意到，与上式相应，在各坐标轴方向的分量式是
Ix? Iy? Iz???t2t1t2fxdt?fx(t2?t1)
（2—7a） fydt?fy(t2?t1)
?t1t1t2fzdt?fz(t2?t1)
?式中fx、fy、fz是变力f的三个分量，fx、fy、fz相应地是fx、fy、fz三个分量在
这段作用时间内的平均大小。
现在我们来讨论，外力冲量所引起的物体运动状态的变化。我们先讨论物体在恒合外力作用下作匀加速直线运动的情况。设物体的质量为m，初速为?1，在恒合外力f的作用下, 速度变为?2，按匀加速直线运动方程，可知?2??1?a(t2?t1)，这里a是物体的加速度，
??????????（t2?t1）是作用时间。根据牛顿第二定律f?ma，求得冲量I为
?????I?f(t2?t1)?ma(t2?t1)?m?2?m?1
式中?1和?2分别是物体在时刻t1和t2的速度。
令 p1?m?1,p2?m?2 上式可写作
I?p2?p1 （2—8） 式中物理量p(?m?)）称为物体的动量，即物体的质量与物体的速度的乘积。动量是表征物体运动状态的重要物理量．动量是矢量，方向与速度相同。上式说明：物体所受外力的冲量等于物体的动量的增量（即末动量与初动量的矢量差），称为动量定理．在直线运动中，初、未动量可能是相同方向的，也可能是相反方向的，但冲量总是与动量的增量同方向。 可以证明，在合外力f是变力，物体作曲线运动的情况下，仍有这一关系：
????????????t2??? I??fdt?m?2?m?1 （2—9）
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在坐标轴方向的三个相应的分量式是
Ix??fxdt?m?2x?m?1x
t1t2 Iy??t2t1fydt?m?2y?m?1y （2—9a）
Iz??fzdt?m?2z?m?1z
t1t2上式（2—9）指出：在运动过程中，物体动量的增量，亦即末动量与初动量的矢量差，等于在外力的持续作用下，经过某一时间，外力对物体所作用的冲量，式（2—9）是动量定理的普遍表达式。
?冲量是一矢量。对无限小的时间间隔dt来说，冲量fdt的方向可以认为与外力f的方?向一致，但是在一段有限时间内，外力f的方向如果是随时改变的，冲量的方向就不能决
定于某一瞬时的外力的方向，然而总是决定于物体动量增量的方向。至于冲量的量值，尽管外力在运动过程中随时改变，物体速度也逐点不同，冲量的大小却完全决定于物体在始末两点处动量矢量差的绝对值，而与运动过程中物体在各点处的动量无关、方程（2-9）所表示的矢量式，正表明这两点。
冲量和动量具有相同的量纲．在国际单位制中为 MLT?1。冲量的单位是牛顿·秒（N?S），动量的单位是千克·米秒
?1（kg?m?T?1）。
动量定理在冲击和碰撞等问题中特别有用．两物体在碰撞的瞬时，相互作用的力称为冲力。图2—16是冲力示意图。冲力的作用时间极短，而在量值上变化极大，所以较难量度每一瞬时的冲力．但是两物体在碰撞前后的动量却较易测定．根据动量定理，就可计算物体受到的冲量．如果还能测定碰撞时间，那末我们也可以从冲量计算冲力在这段时间内的平均大小．当然，冲力的峰值比其平均值更大．在某些实际问题中，对冲力大小作一定的估算常是很需要的．应该注意，在实际问题中，如果有限大小的力（例如重力）与冲力同时作用时．因冲力极大，作用时间又极短，有限大小的力的冲量有时就可以忽略不计．在生产中，我们有时常要利用冲力，增大冲力，有时又要减小冲力，避免冲力造成损害．例如，使用冲床冲压
钢板，是利用冲头和钢板冲击时的巨大冲力。各种缓冲器和缓冲设备 图2—16 冲力示意图 的原理是延长碰撞时间以减小冲力。
牛顿运动方程，按牛顿自己所提出的形式，是用动量描述的，即：
??d(m?) f? （2－10）
dt意即：在某一瞬时，物体的动量对时间的变化率等于这一瞬时作用在物体上的力，而且动量的时间变化率的方向与力的方向相同。在古典力学中，认为物体的质量与速度无关，是一个恒量，可以将质量m从微分符号中取出，得
??d??f?m?ma
dt这就是方程（2—2），由此可见，把运动物体的质量视为恒量的情况下，方程（2-10）与方程（2—2）是等同的。以后我们在讲到相对论时，知道当物体的速度接近光的速度时，物体的质量将显著地随速度而改变，这时方程（2—2）不再成立，但是实验指出，方程（2-10）仍然有效，因此方程（2—10）更具有普遍的意义。
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