力学基础 第二章 质点动力学
26a）。按匀加速直线运动方程可知???0?2as，按牛顿第二运动定律有f?ma。于是合外力对物体所作的功
22112 m?2?m?022112令 Ek?m?2，Ek0?m?0
22A?fs?mas?上式可改写为
A?Ek?Ek0 （2—18）
上式中所引入的物理量Ek?1上式说明合外力对物体所作的功m?2称为物体的动能。
2等于物体的动能的增量。这一结论称为动能定理。
在合外力f是变力，物体作曲线运动的情况下（图2—26b），同样可以证明，合外力所作的功
?A??fcos?ds?ab1122 （2－19） m?b?m?a22
图2—26 动能定理
式中?a和?b分别表示物体在起点a和终点b处的速度，A为物体从a到b的整个曲线路程中合外力所作的功。式（2—19）是动能定理的普遍表式。
式（2—19）可证明如下：根据牛顿第二定律，fcos??mat，而切向加速度at?速度v?d?，dtds。因此 dtfcos?ds?md??dt?m?d? dtbvb1122于是 A??fcos?ds??m?d??m?b?m?a
ava22从式（2--18）或式（2-19）可知，当外力对物体作正功（即A＞0）时，物体的动能增加；
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力学基础 第二章 质点动力学
当外力对物体作负功（即A＜0）时，物体的动能减少，亦即物体反抗外力作功。因此，动能这一概念表示物体以一定速度运动时所具有的作功的本领，物体依靠动能的减少来作功。
利用动能作功的例子很多，锻压是利用锤的动能作功，水磨是利用水流的动能作功，帆船、风车是利用空气的动能作功，汽轮机是利用蒸汽的动能作功。
动能是表征物体运动状态的一个重要物理量，它是标量，大小等于
相同的。物体的动量mv也是一个表征物体运动状态的重要物理量。它们的意义有什么不同呢？首先我们要从动量定理和动能定理来说，前者反映力的时间累积，后者反映力的空间累积，其中分别引进了动量和动能这两个物理量。动量定理和动能定理都是适用于物体的一段运动过程的，而且动量和动能本身又联系于过程的始末状态。这样，从方法上来说，动量定理和动能定理对于解决某些力学问题可能比直接应用牛顿第二定律要方便些。这里就要注意到，动量和动能分别联系于不同的物理量—-冲量和功，两个定理之间不能相互混淆。再后，在动量方面，我们已发现，仅在系统内部物体或质点间的相互作用下，不会改变系统的总动量。正是从这种客观事实中使我们认识到动量是标志物体机械运动的这样一种量度：在几个物体之间，如果通过力的相互工作用而有机械运动的转移时，一定伴有等量的动量转移，一个物体得到多少动量的同时，一定有其他物体失去等量的动量。然而，我们如考察这系统的动能方面的问题（我们从下节起就要进一步讨论），却并没有“必有等量动能转移”的问题，而是一种能量往往可以转化为其他形式的能量，包括机械运动有转化为其他形式（如热运动等）的能力，其他运动形式也有转化为机械运动的能力，其间，有一个等值交接“能量”的客观规律。可以这样说，动能是标志物体机械运动转化为一定量的其他运动形式的能力的一种量度。动能和动量这两种量度互不相同，各有其适用之处。
例题2-12 一颗质量为m的弹头，以水平速度?0射入静止在水平地面上的质量为M的砂箱中。设砂箱与地面的摩擦系数?。求砂箱被射出后能滑行多远。
?1m?2，单位与功2
图2—27 例题2—12 用图
解 按题意，把这个复杂过程分为两个顺序相接的理想过程。把弹头接触砂箱到砂箱相对静止看作第一过程，把从此以后到砂箱再度静止看作第二过程。在第一过程中，时间十分短促，可认为砂箱受冲击后具有一定的速度，但未发生明显的位移。由于弹头与砂箱的相互作用力很大，弹头-砂箱系统在水平方向所受外力（摩擦力）可以忽略，因此可在水平方向运用动量守恒作近似计算，求出这个过程末了时砂箱所具有的速度?。在第二过程中，砂箱
?f向前运动，克服摩擦力作功，动能逐渐减少，在滑行一段距离后，终于静止下来。
沿砂箱运动的方向作Ox轴，设砂箱原来静止的位置（以前缘为准）的坐标为x0，滑动以后再度静止的位置坐标为x。由于砂箱-弹头系统在水平方向的动量守恒，有
(M?m)??m?0 （1）
对于带弹头的砂箱运用动能定理 0?1(M?m)?2?f(x?x0)cos180? （2） 2由式（1）解得??m?0/(M?m)，代入式（2），并注意
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f??(M?m)g, 最后得到
2m2?0 x?x0? （3）
2?(M?m)2g?例题2-13重量为P的摆锤系于绳的下端，绳长为?l，上端固定。如图2—28所示，一水平变力F从零逐
渐增大，缓慢地作用在摆锤上，使摆锤虽得移动，但在所有时间内均无限地接近于力的平衡，一直到绳子与竖直线成?0角的位置。试计算变力F所作的功。
解 按题意，在任一位置上（由角位置?0表示），摆
?锤 无限地接近于力的平衡，所以可由摆锤所受合力
接近于零作计算。在水平方向与竖直方向分别有： 图2—28 例题2—13 用图
F?Tsin??0，Tcos??P?0
式中T是摆锤所受绳的拉力。于是得
F?Ptg?
??当摆锤在?位置上沿圆弧作微小位移ds时力F所作微功为
??dA=F?ds?Fcos?ds
将F?Ptg?，ds?ld?代人，得
dA＝＝Ptg??cos??ld?＝Plsin?d?
?所以在摆锤从初始位置（??0）到末位置（???0）的过程中，力F对摆锤所作总功是
A??dA??plsin?d??pl(1?cos?0)
0?对于本题，读者自己可以继续思考一下，重力对摆锤所作总功又如何？
例题2-14 如图2-29所示，一物体由斜面底部以初速?0?10m?s向斜面上方冲去，然后又在斜面上下滑，滑到底部时速度已变为 ?f?8m?s?1。已知斜面倾角?为30，物体与斜面间的滑动摩擦系数为?k，求物体上冲到最高点处的高度。
0?1 33
力学基础 第二章 质点动力学
图2-29 例题2-14用图
解 可先列出物体的运动方程，分别算出上冲和下滑的加速度，用运动学的公式求解。也可用动能定理来讨论．这里，首先研究物体的上冲过程，重力和滑动摩擦力对物体作负功，使物体沿斜面上冲达斜面距离S时瞬时静止（这时物体动能为零）．设物体质量为m，又因滑动摩擦力fr??kN。正压力N?Pcos??mgcos?，所以物体沿斜面上冲过程中，重力P和摩擦力fr所作的功为
?(mgsin???kN)s??(mgsin???kmgcos?)s根据动能定理，应有
12 ?(mgsin???kmgcos?)s?0?m?0212 （1） (mgsin???kmgcos?)s?m?02其次，研究物体上冲和下滑的全过程，重力对物体的总功为零，斜面对物体的正压力不作功,上冲和下滑时物体所受的滑动摩擦力的大小不变（方向始终与运动方向相反）。所以在上冲和下滑的全过程中摩擦力所作总功为
?2frs??2?kPcos??s??2?kmgcos??s
根据动能定理，应有
?2?kmgcos??s?消去（1）、（2）两式中的?k，得
112 m?2?m?0f222s?(?0??2f)/4gsin?
而最高点处的高度（从斜面底部的水平面算起）为
2h?ssin??(?0??2f)/4g?4.2m
例题2—15 参看图2—20，设两小球相互碰撞后粘在一起运动，且已知?10＞?20，求碰撞前后两小球各自的动能变化和系统总动能的变化．
解 设碰撞后两小球一起运动的速度为v，根据动量守恒定律
(m1?m2)??m?10?m2?20
所以 v?m?10?m2?20
m1?m234
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小球m1的动能增量为
?Ek1?m1?10?m2?20)2111（222??m1??m1?10?m1???10?
222?（m1?m2)2??小球m2的动能增量为
m1m2(?10??20)(2m1?10?m2?10?m2?20)?0 2（2m1?m2)?Ek2?m1?10?m2?20)2111（222??m2??m2?20?m2???20?
222?（m1?m2)2??m1m2(?10??20)(m1?10?m1?20?2m2?20)?0
（2m1?m2)2这就是说，小球m1的动能减小了，小球m2的动能增加了。
系统总动能增量为
111122?Ek?(m1?2?m2?2)?(m1?10?m2?20)??Ek1??Ek2
2222 ?m1m2(?10??20)??(2m1?10?m2?10?m2?20)?(m1?10?m1?20?2m2?20)?
（2m1?m2)2m1m2(?10??20)2???0
（2m1?m2)这就是说，在这样的碰撞过程中，系统的总动能有所损失。本例题说明，对于两小球所
组成的这一系统来说，在这样的碰撞过程中的内力相互作用下，总动量守恒，但总动能并不守恒。实际上，所损失的动能（机械能量）转化成其他形式的能量了。应该这样说：系统中的内力作了负值的总功，其实质就是把机械能耗损了。）
§2—7 势能 机械能守恒定律
能的概念，是物理学和工程上最重要的概念之一。一个物体能够作功，我们就说这个物体具有能量。上节已说明，运动着的物体具有动能。现在，我们说明另一种形式的能量—-势能。打桩时，铁锤从高处落下而作功，水力发电利用高处的水下落而作功。铁锤和水所以能够作功，是由于（1）它们与地球之间的相互作用—一重力；（2）它们相对于地球的位置有改变。物体因重力而具有的能量叫做重力势能。当拉长了的弹簧逐渐恢复原长时，可以带动系在弹簧上的物体而作功，钟表中利用卷紧了的发条逐渐放松而作功。弹簧和发条所以能够作功，是由于（1）它们内部弹性力的作用；（2）它们所处的弹性形变状态的改变。物体因弹性力而具有的能量叫做弹性势能。总之，与相互作用的物体的相对位置有关的能量统称为势能。
按相互作用力的性质来区分，势能可有不同的形式．重力势能（与重力有关）和弹性势能（与弹性力有关）是力学中所讨论的势能。
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